欧几里得算法第二弹---计算多个数的最大公约数

如果要求多个数的 GCD，可以先求前两个数的 GCD，然后用这个结果与下一个数求 GCD，依次类推。 为什么可以用前两个数的 GCD 与下一个数继续求 GCD，从而得到所有数的 GCD 呢？（之前我不知道，自己也没推过了。是的，我很笨）

了解到之后，知道这是GCD的结合性和传递性

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1.GCD的结合性

GCD 运算满足结合性，即：

也就是说，多个数的 GCD 可以通过逐步计算两两数的 GCD 来得到。

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2.GCD的传递性

如果 d 是 a 和 b 的公约数，并且 d 也是 b 和 c 的公约数，那么 d 一定也是 a 和 c 的公约数，所以 d 一定是 a ，b  ，c 的公约数。因此，逐步计算GCD 不会丢失任何可能的公约数。

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3.为什么可以逐步计算？

假设我们有三个数 a、b、c，我们需要计算 GCD(a,b,c)。

• 首先计算 GCD(a,b)，得到结果 d。

• 然后计算 GCD(d,c)，得到最终结果。

为什么可以这样做？（体现的是结合性）

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 4.拓展到多个数

对于多个数 a1,a2,a3,…,an，我们可以逐步计算：

每一步都保证当前的 GCD 是前面所有数的公约数，同时继续与下一个数求 GCD，确保最终结果是所有数的最大公约数。

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5.数学证明

假设 d=GCD(a,b,c)，我们需要证明：

d=GCD(GCD(a,b),c)

• 因为 d 是 a、b、c 的公约数，所以 d 能整除 a 和 b，因此 d 是 GCD(a,b) 的约数。

• 同时，d 能整除 c，所以 d 是 GCD(GCD(a,b),c) 的约数。

• 反过来，GCD(GCD(a,b),c) 也能整除 a、b、c，因此它一定是 d 的约数。

• 综上，d=GCD(GCD(a,b),c)。