动态规划之背包问题

动态规划之背包问题

01背包

输入样例

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样例：

8

枚举：我们可以用0和1来表示当前物品是不是取了，0表示没有取，1表示取了，比如说有三个物品，001，那么001表示第一个物品取了，第二个和第三个物品都没有取

当我们考虑了前i个物品取还是不取的情况，如果有两组方案的体积是一样的，保留最大收益的即可。

考虑了前i个物品，总体积为j的情况分为两种：

1.第i个物品没有取，就是考虑前i-1体积为j的情况

2.第i个物品取了，就是考虑前i-1体积为j-v[i]的情况

最有子结构：为了计算前i个物品且体积为j的情况下收益的最大值，我们可以先考虑上一个状态i-1的最大值，前i-1个物品的状态也分为两个状态体积为j和j-v[i]的最大收益。

无后效性：之考虑最值，不考虑是拿了哪些物品而得到的最大值

状态：f[i][j]表示考虑拿前i个物品，总体积为j的最大收益

转移：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N], f[N][N],n,m;

int main(void)
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= m; j++)
		{
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if (j >= v[i])
			{
				f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}	

思考：

真的需要开这么大的数组吗？有没有可以优化的地方

考虑前i个物品时的状态之和考虑了前i-1个物品的状态有关，前面的i-2是不需要被记录的。

f[1][1]=2	f[0][1]=0	f[0][0]+w[1]=2
f[1][2]=2	f[0][2]=0	f[0][1]+w[1]=2
f[1][3]=2	f[0][3]=0	f[0][3]+w[1]=2
f[1][4]=2	f[0][4]=0	f[0][3]+w[1]=2
f[1][5]=2	f[0][5]=0	f[0][4]+w[1]=2
f[2][2]=4	f[1][2]=2	f[1][0]+w[2]=4
f[2][3]=6	f[1][3]=2	f[1][1]+w[2]=6
f[2][4]=6	f[1][4]=2	f[1][2]+w[2]=6
f[2][5]=6	f[1][5]=2	f[1][3]+w[2]=6
f[3][3]=6	f[2][3]=6	f[2][0]+w[3]=4

数据跟踪代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N], f[N][N],n,m;

int main(void)
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= m; j++)
		{
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if (j >= v[i])
			{
				f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
				printf("f[%d][%d]= %d f[%d][%d]= %d f[%d][%d]+w[%d]= %d\n", i, j, f[i][j], i - 1, j, f[i - 1][j], i - 1, j - v[i], i, f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}	

优化后的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N], f[N],n,m;

int main(void)
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = m; j>=v[i]; j--)
		{	
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
		}
		puts("");
	}
	cout << f[m] << endl;
	return 0;
}

我们来看一下二维的转移方程

f[i][j]=f[i-1][j];//没有取第i个物品
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);//取了第i个物品

f[i][j]=f[i-1][j]可以等效于f[j]=f[j]，这个式子是恒成立的，所以可以直接不写
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);可以等效于:
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);但如何去得到i-1和i轮的数据呢？
我们可以把枚举体积的状态逆向更新ÿ