启发式算法——模拟退火算法

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）

一种基于概率的全局优化算法

它受到固体退火过程的启发，其中固体材料在高温下被加热，然后慢慢冷却以达到最低的能量状态。在金属退火过程中，金属被加热到高温，然后缓慢冷却，通过这个过程可以减少金属内部的缺陷，提高金属的强度和韧性。模拟退火算法将这一过程应用于解决优化问题，特别是那些具有多个局部最优解和复杂搜索空间的组合优化问题，如旅行商问题（TSP）、图着色问题等。

基本思想：

1. 启动阶段（Initialization）：首先确定一个初始解，通常是随机生成的，同时引入一个温度参数，初始时设定一个较高的温度。
2. 状态空间搜索（State Space Exploration）：在每个迭代中，算法从当前解中选择一个邻域解，这个邻域解可能是根据某种规则随机生成的，也可能是根据某种策略生成的，然后决定是否接受这个邻域解。接受与否取决于一个概率函数和当前的温度。随着迭代的进行，温度会逐渐降低。
3. 停止条件（Stopping Criterion）：算法在达到停止条件时终止。停止条件可以是达到最大迭代次数、温度降至阈值以下等。

关键概念：

1. 能量函数（Energy Function）：在优化问题中，我们通常会定义一个能量函数，它衡量了每个解的质量。对于最小化问题，能量函数越小越好；对于最大化问题，能量函数越大越好。
2. 温度（Temperature）：温度控制着接受邻域解的概率。在算法开始时，温度很高，接受劣质解的概率也很高，随着迭代的进行，温度逐渐降低，接受劣质解的概率也随之降低。
3. 邻域函数（Neighborhood Function）：邻域函数定义了如何从当前解中生成邻域解。通常情况下，邻域解与当前解只有细微的差别。
4. 冷却率（Cooling Rate）：冷却率决定了温度降低的速率。通常，温度会按指数函数递减。

算法步骤：

1. 初始化温度和初始解。
2. 迭代直到满足停止条件：
   • 在当前解的邻域中随机选择一个新解。
   • 根据能量函数的变化和当前温度计算接受概率。
   • 根据接受概率决定是否接受新解。
   • 降低温度。
3. 返回最优解。

实现示例：

假设我们要解决一个简单的函数优化问题，目标是找到函数 f(x) 的最小值。以下是一个简化的模拟退火算法实现的伪代码：

初始化当前解 x，初始温度 T，冷却率 alpha
repeat
    for 一定次数的迭代 do
        生成一个邻近解 x'
        计算能量差 ΔE = f(x') - f(x)
        if ΔE < 0 then
            接受 x' 作为新解
        else if 随机数 < exp(-ΔE / T) then
            接受 x' 作为新解
        end if
    end for
    T = alpha * T  // 降低温度
until T < 某个阈值
返回当前解 x

接下来，我们进一步讨论模拟退火算法实现的一些具体的细节。

温度参数的设定

在模拟退火算法中，温度参数