平衡二叉树 --- AVL树

已于 2025-03-22 16:51:52 修改
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于 2025-03-22 10:26:54 首次发布
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前言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡二叉树来实现。

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

一、AVL树的概念

AVL树是最先发明的自平衡⼆叉查找树，通过旋转操作维护树的平衡性。 AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：
  •  左右子树都是AVL树，
  • 左右子树的高度差（平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1）
AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。
AVL树实现这里我们引入⼀个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，我们将二叉树上结点的右子树的高度减去左子树的高度的值称为平衡因子BF(Balance Factor)，也就是说平衡二叉树上所有结点的平衡因子等于-1/0/1，只要有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。 AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标⼀样。
AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可

以控制在 O(logN)，相比二叉搜索树有了本质的提升。

距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。
例如当新插入结点13时，距离他最近的平衡因子绝对值超过1的结点是10(即它的右子树高度2 减去它的左子树高度0)，所以从10开始以下的子树为最小不平衡子树。

二、AVL树的实现

2.1 AVL树的节点的定义和结构

代码如下（示例）： 

#pragma once

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	size_t _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{ }
	
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	//
	// 
	//
private:
	Node* _root = nullptr;
};

平衡二叉树实现原理：

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

2.2 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

  • 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  •  调整节点的平衡因子

2. 2. 1 AVL树插入流程

  1. 按二叉搜索树规则进行插入值。
  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
  3. 新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。
  4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡的子树旋转，旋转本质是调平衡，降低了子树的高度，不会再影响上⼀层，所以插入结束。

2. 2. 2 平衡因子更新

更新原则：

  • 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度
  • 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
  • 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--
  •  parent所在子树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

  • 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
  • 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新前parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，高度发生变化会影响parent的⽗亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
  • 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新前parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
  • 不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理
 

更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束

最坏更新到根停止

2. 2. 3 插入结点和更新结点的代码实现

template<class k, class v>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<k, v> Node;
public:

	bool Insert(const pair<k, v>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}

		}

		cur = new Node(kv);//新增结点和它的父节点建立链接
		if (parent->_kv.first < kv.first) parent->_right = cur;
		else parent->_left = cur;

		cur->_parent = parent;

	

		// ... 控制平衡
		// 更新平衡因子
		while (parent)//一路向上更新到根就该停止了
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else // if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}

			//看前面的祖先结点bf
			if (parent->_bf == 0)
			{
				// 更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 子树不平衡了，需要旋转
				if (parent->_bf == 2 || cur->bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 || cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 || cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 || cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);

				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}


		return true;

	}

 2. 3 旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
 

2. 3. 1 旋转的规则

  1. 保持搜索树的规则
  2. 让旋转的树从不平衡到平衡，其次降低旋转树的⾼度

2. 3. 2 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
 

本图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种

 

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到5的左子树(注意：此处不是左孩子)中，5的左子树增加了一层，导致以10为根的二叉树不平衡，要让10平衡，只能将10左子树的高度减少一层，右子树增加一层。

即将左子树往上提，这样10转下来，因为10比5大，只能将其放在5的右子树，而如果5有右子树，右子树根的值一定大于5，小于10，只能将其放在10的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  • 5节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  • 10可能是根节点，也可能是子树。如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点为5。如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，把更新后的根节点向上链接。


 实现代码：

void RotateR(Node* parent)
{
	//定义节点的指针
	Node* SubL = parent->_left;
	Node* SubLR = SubL->_right;

	parent->_left = SubLR;
	if(SubLR)//判断一下右子树存不存在
		SubLR->_parent = parent;

	//提前保留parent的父节点
	Node* parentParent = parent->_parent;

	SubL->_right = parent;
	parent->_parent = SubL;

	//插入之前parent时根节点
	if (parentParent == nullptr) // parent = _root;
	{
		_root = SubL;
		SubL->_parent = nullptr;
	}
	//插入之前parent是一个子树的根节点
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
			parentParent->_left = SubL;
		else
			parentParent->_right = SubL;

		SubL->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = SubL->_bf == 0;

}

 2. 3. 3 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

本图在a子树中插⼊一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡

旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束。

左单旋代码实现：

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* SubR = parent->_right;
	Node* SubRL = SubR->_left;

	parent->_right = SubRL;
	if (SubRL)
		SubRL->_parent = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;

	SubR->_left = parent;
	parent->_parent = SubR;

	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = SubR;
		SubR->_parent = nullptr;
	}

	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
			parentParent->_left = SubR;
		else
			parentParent->_right = SubR;

		SubR->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf == SubR->_bf == 0;
}

2. 3. 4 左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
 

通过图1和图2可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

图1：

图2： 

图1和图2分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

  • 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

  • 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

  • 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

左右双旋代码实现：  


	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2. 3. 5 右左双旋

 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

  • 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
  • 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
  •  场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

右左双旋代码实现： 

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

 2. 4 AVL树的查找

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		} 
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	} 
	return nullptr;
}

 2. 5 代码实现

AVLTree.h

#pragma once

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

//template<class K, class V>
//struct AVLTreeNode
//{
//	pair<K, V> _kv;
//	AVLTreeNode<K, V>* _left;
//	AVLTreeNode<K, V>* _right;
//	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
//	size_t _bf;
//
//	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
//		:_kv(kv)
//		,_left(nullptr)
//		,_right(nullptr)
//		,_parent(nullptr)
//		,_bf(0)
//	{ }
//	
//};
//
//template<class K, class V>
//class AVLTree
//{
//	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
//public:
//	//
//	// 
//	//
//private:
//	Node* _root = nullptr;
//};



template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{
	pair<k, v> _kv;
	AVLTreeNode<k, v>* _left;
	AVLTreeNode<k, v>* _right;
	AVLTreeNode<k, v>* _parent;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{ }
};

template<class k, class v>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<k, v> Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr) 
	{} // 添加默认构造
	bool Insert(const pair<k, v>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}

		}

		cur = new Node(kv);//新增结点和它的父节点建立链接
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

	

		// ... 控制平衡
		// 插入结点以后更新插入结点的祖先的平衡因子
		// 更新平衡因子
		while (parent)//一路向上更新到根就该停止了对于parent == 1的情况一直往上更新 parent为nullptr即为结束条件
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else // if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}

			//看前面的祖先结点bf
			if (parent->_bf == 0)
			{
				// 更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 子树不平衡了，需要旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);

				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}


		return true;

	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		//定义节点的指针
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		parent->_left = SubLR;
		if(SubLR)//判断一下右子树存不存在
			SubLR->_parent = parent;

		//提前保留parent的父节点
		Node* parentParent = parent->_parent;

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;

		//插入之前parent时根节点
		if (parentParent == nullptr) // parent = _root;
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;
		}
		//插入之前parent是一个子树的根节点
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
				parentParent->_left = SubL;
			else
				parentParent->_right = SubL;

			SubL->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;

	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		if (SubR == nullptr) {
			// Handle the error or return early
			return;
		}
		Node* SubRL = SubR->_left;

		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
			SubRL->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;

		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = SubR;
			SubR->_parent = nullptr;
		}

		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
				parentParent->_left = SubR;
			else
				parentParent->_right = SubR;

			SubR->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = SubR->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			SubLR->_bf = 0;
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	Node* Find(const pair<k, v>& kv)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				cur = cur->_right;
			} 
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		} 
		return nullptr;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

 Test.cpp

#include "AVLTree.h"
//#include<vector>

// 测试代码
void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> s;
	// 常规的测试用例
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		s.Insert({ e, e });
	}
	s.InOrder();
    assert(s.Find({ 5,5 }));


	//cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
void TestAVLTree()
{
    AVLTree<int, int> tree;

    // 测试插入
    assert(tree.Insert({ 10, 10 }));
    assert(tree.Insert({ 20, 20 }));
    assert(tree.Insert({ 30, 30 }));
    assert(tree.Insert({ 40, 40 }));
    assert(tree.Insert({ 50, 50 }));
    assert(tree.Insert({ 25, 25 }));

    // 测试查找
    assert(tree.Find({ 10, 10 }) != nullptr);
    assert(tree.Find({ 20, 20 }) != nullptr);
    assert(tree.Find({ 30, 30 }) != nullptr);
    assert(tree.Find({ 40, 40 }) != nullptr);
    assert(tree.Find({ 50, 50 }) != nullptr);
    assert(tree.Find({ 25, 25 }) != nullptr);
    assert(tree.Find({ 60, 60 }) == nullptr);

    // 测试中序遍历
    tree.InOrder(); // 应该输出: 10 20 25 30 40 50
}
int main()
{
	TestAVLTree1();
    //TestAVLTree();
    //std::cout << "所有测试用例通过!" << std::endl;
	return 0;
}

总结

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

Ha-gd
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