第三章 动态规划

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种用于解决最优化问题的算法设计方法。它通过将大问题分解为小问题来避免重复计算，通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划的基本步骤

1. 定义状态：确定问题的状态以及如何用状态表示问题的解。
2. 选择决策：找出状态转移的方式，也就是如何通过选择决策来转移到下一个状态。
3. 写出状态转移方程：根据决策和状态之间的关系，构建转移方程。
4. 确定边界条件：设定初始状态的值。
5. 实现并求解：通过迭代或递归计算最终解。

例子：斐波那契数列

一个经典的动态规划问题是求斐波那契数列的第 n 项。

状态定义

f(n) 表示第 n 项的值。

状态转移方程

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

边界条件

f(0) = 0 f(1) = 1

示例代码

#include <iostream>
#include <vector>

int fibonacci(int n) {
    // 边界条件
    if (n <= 1) return n;

    // 创建一个数组来存储斐波那契数列
    std::vector<int> dp(n + 1);
    dp[0] = 0; // f(0)
    dp[1] = 1; // f(1)

    // 填充动态规划表
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    return dp[n]; // 返回 f(n)
}

int main() {
    int n;
    std::cout << "Enter a number: ";
    std::cin >> n;

    int result = fibonacci(n);
    std::cout << "Fibonacci number at position " << n << " is: " << result << std::endl;

    return 0;
}

运行说明

1. 输入一个非负整数 n。
2. 程序输出斐波那契数列中第 n 项的值。

例子：01背包

问题描述

• 有 n 件物品，每件物品的重量为 weights[i]，价值为 values[i]。
• 背包的最大承重为 W。
• 目标是选择物品，使得在不超过承重的前提下，最大化总价值。

动态规划解法

状态定义

dp[i][j] 表示前 i 件物品在最大承重为 j 的情况下的最大价值。

状态转移方程

• 如果不选择第 i 件物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]
• 如果选择第 i 件物品：dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]
• 综合：
  dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]) (前提是 j >= weights[i-1])

边界条件

dp[0][j] = 0 (没有物品时的最大价值为 0)

示例代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

int knapsack(int W, const std::vector<int>& weights, const std::vector<int>& values) {
    int n = weights.size();
    // 创建 DP 表
    std::vector<std::vector<int>> dp(n + 1, std::vector<int>(W + 1, 0));

    // 填充 DP 表
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= W; ++j) {
            if (weights[i - 1] <= j) {
                dp[i][j] = std::max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }

    return dp[n][W]; // 返回最大价值
}

int main() {
    int W; // 背包容量
    std::cout << "Enter the maximum weight of the knapsack: ";
    std::cin >> W;

    int n; // 物品数量
    std::cout << "Enter the number of items: ";
    std::cin >> n;

    std::vector<int> weights(n);
    std::vector<int> values(n);

    std::cout << "Enter weights of items: ";
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> weights[i];
    }

    std::cout << "Enter values of items: ";
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> values[i];
    }

    int max_value = knapsack(W, weights, values);
    std::cout << "Maximum value in the knapsack: " << max_value << std::endl;

    return 0;
}

运行说明

1. 输入背包的最大承重 W。
2. 输入物品数量 n。
3. 输入每件物品的重量和价值。
4. 程序输出在给定条件下的最大价值。