余弦定理

余弦定理一般用于我们的 点乘和叉乘的 推导中 用于求一个Cos 角和三角形边的关系 

直接拿百度 的去进行讲解就可以 直接看

 基本就是这几个式子 百度百科说的很明白  所以直接往下看就可以

这里说一下 这种情况当∠A 为锐角   这个时候我们要求 AD  我们设置一个Cos A    

CosA= 临边 / 斜边    

那么 AD是不是直角三角型ABD的临边   所以 AD = CosA * AB   

那么我们给 三条边先命名一下 BC=A   AC =B   AB=  C 

我们这个给时候 知道了 AD  那么 CD= AC -AD =B- CosA * C

我们假设 BD =H  

之后根据三角形的勾股定理  a ^2 +b^2=c^2

AB =C^2 = CCosA^2+H^2

BC=A^2=(B- CosA * C)^2+H^2 

这两个式子我们考虑消除 H 这个变量 剩下 三角形这个关系   之后就可以了

那么 就是

(B- CosA * C)^2  =  b^2-BCCosA+CCosA^2

AB - BC =CosA^2+H^2- ((B- CosA * C)^2+H^2 )

   =   CosA^2+H^2-b^2+2BCCosA-CCosA^2-H^2

  =b2−2bccosA

这个就是推导过程 ^2 就是平凡的意思

钝角推导 

先设定 BC=A   AC =B   AB=  C   

AD =CosA *AB       

由于是钝角三角形就要设置到坐标系方向与三角函数值的符号约定  所以AD =CosA *AB  =-c*CosA

1. 钝角三角形的几何构造

∠A 是钝角  BC是CA的延长线  垂直与D 

那么此时AB的长度为C 

AD的方向与AC的方向相反  因为投影

2. 三角函数的符号约定

在坐标系中  余弦函数CosA 的符号由角A的位置决定  

当∠A是钝角 Cos A =AD/AB    AD 是x 的相反方向 那么就是 CosA<0  A=120  Cos120=-1/2

3. 投影长度的表示

边AB在AC的长度为AD =|cCosA| 

cosA <0  为了用正数表示 AD的长度 需要绝对值 |AD| = c*|CosA|=c*(-CosA)=-ccosA

这个就是为是AD =CosA *AB  =-c*CosA

那么c^2 = (-c*CosA)^2+h^2 

      a^2= CD=DA+Ac=  (b+ -c*CosA)^2+h^2

之后两式相减 a ^2=b^2+c^2-2bcCosA

平面向量

 向量减法 去证明  三角形法则 两个向量相减，差向量就是从减向量的重点只想被减向量的终点 所以BC =AC-AB 就是B只想 C的向量 等于 A指向C减去A指向B的向量 

之后根据等式两边的一句  等式两边平方为了利于向量数量 的运算性质来推导三角形的关系  根据平方公式（a-b）^2 =a^2-2ab+b^2

               对于向量  BC=A   AC =B   AB=  C   

 AC^2- 2AC*AB +AB^2 

又因为向量的平方等于向量模长的平方 那么BC 的向量平方=BC的模长平方    

                                                                     AC 的向量平方=AC的模长平方    

                                                                   AC  的向量平方=AB的模长平方 

A^2= B^2- 2BC*CosA+C^2

B^2=A^2+C^2-2ac*cosB