寻找第K小的数

要求：

       1.请用自然语言或伪代码描述找第k小的数的分治算法

       2.分析该算法的最好时间复杂度和最坏时间复杂度

       3.结合本章的学习，谈谈你对分治法的体会和思考

作业：

1.分治算法（伪代码）

1.1.Parition()利用快速选择算法并返回第一个元素最后的位置。

j表示该开始最左边的数移了j-left个数。

int Partition(a[],left,right){
    i=left,j=right+1;
    while(i<j){
        while(a[++i]<a[left]&&i<right);
        while(a[--j]>a[left]);
        if(i>=j){
            break;
        }
        swap(a[i],a[j]);
    }
    x=a[left];
    a[left]=a[j];
    a[j]=x;
    return j;
}

1.2.find()寻找数组中第K小的数

因为k是从1开始算起，而在a[]数组中是从0开始算起，所以判断划分点是不是第k小时，应该是k-1与mid比较。

如果相等的话，说明找到了第k小的数，就可以直接输出第k小的数的值

 if(k-1==mid){
     cout<<a[k-1];
 }

如果k-1<mid的话，说明第k小的数在a[mid]的左边，所以向左边继续找。

else if(k-1<mid){
    find(a,k,left,mid-1);
}

如果k-1>mid的话，说明第k小的数在a[mid]的右边，所以向右边继续找

else(k-1>mid){
    find(a,k,mid+1,right);
}

完整的find()函数(伪代码)：

void find(a[],k,left,right){
    mid=Partition(a,left,right);
    if(k-1==mid){
        cout<<a[k-1];
    }
    else if(k-1<mid){
        find(a,k,left,mid-1);
    }
    else{find(a,k,mid+1,right);}
}

int main(){
    a[10001];
    cin>>n>>k;
    for(i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    left=0,right=n-1;
    find(a,k,left,right);
    return 0;
}

1.3.main()函数：

int main(){
    int n,k;
    int a[10001];
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    int left=0,right=n-1;
    find(a,k,left,right);
    return 0;
}

2.时间复杂度

2.1.最好时间复杂度

find()函数最好的情况是第一次调用Parition函数()返回的mid就是k-1，所以时间复杂度为1*Parition()的时间复杂度，此时我们只要讨论Parition()函数的时间复杂度即可。

而Parition()在最好的情况时，每次划分都能直接找到第k小的元素，因此只需要一次划分，时间复杂度为O(n)。

所以最好时间复杂度为O(n)。

2.2.最坏时间复杂度

在最坏的情况下，每次Parition()的a[left]总是为最小值会最大值，那么每次调用Parition()后，问题的规模只减少了1。因此，如果要找到第K小的元素，还要执行k次划分，而每次划分的复杂度为O(n),所以总的时间复杂度为O(n*k),而最坏的情况下，k为n的话，总的时间复杂度就为O(n^2)。

所以最坏时间复杂度为O(n^2)。

3.体会和思考

分治法的基本做法是先将规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同。然后递归地解决这些子问题，然后将这些子问题合并就可以得到原问题的解。