离散数学第二章定义解释

离散数学中的定义有些过于数学化，对于并非数学系的学生而言学习非常痛苦，为此，笔者在此将对书中所出现的定义用通俗易懂的话（希望是这样）解释出来，若有错误，望指出！

1、个体：描述的对象、事物。例如 5、3、三好学生，他她它（具体）；感情（抽象）

    个体又分为个体常元（就是常量a,b,c）和个体变元（就是变量x,y,z）

2、谓词：可以划定个体性质（他是三好学生）；也可以表示两个个体之间的关系（5大于3）

    谓词也可以分为谓词常元和谓词变元。用大写英文字母表示（P、Q、R）

3、原子命题的谓词形式/命题的谓词形式：原子命题（就是一个命题，比如明天下雨）用一个谓词和n个有次序的个体常元表示成P（a1,a2,…,an）的形式，其包含个体和谓词两部分。

4、 n元原子谓词/n元命题函数/n元谓词：由一个谓词和n个个体变元组成的P(x1,x2,…,xn)

注：n元谓词不是命题（但零元谓词是命题，因为没有变元，真值能确定）只有当个体变元用特定个体（个体常元）替代时（就相当于赋值），才能成为一个命题。

5、个体域/论域：个体变元的论述范围，类比定义域（如x表示自然数，自然数就是x的论域）

6、全总论域：n元谓词中每个个体的论域综合在一起作为其论域

7、特性谓词：限制个体变元x的取值范围的谓词（如所有的自然数都是整数可表示为 ，其中N(x)表示N是自然数，I(x)表示x是整数，N(x)就成为特性谓词）

8、复合命题函数：用一个或n个简单命题函数和逻辑连接词结合而成

9、量词：表示不同数量的词，如、、（表示恰有一个，存在唯一）

10、谓词的量化：谓词前面加上量词，如果所有变元都量化了（其实就是被赋值了，有定义域了）那么该谓词就变成了命题。

11、项：j 个体常元和个体变元

k 若f是n元函数（就是普通函数），且t1,t2,…,tn是项，则f(t1,t2,…,tn)是项

l 由j和k有限次地组合

    如：f(x)=x+1，g(x,y)=x+y，F(3,z)=3*z，M(F,u)=F/u=3*z/u

12、原子谓词公式/原子公式：P(x1,x2,…,xn)是n元谓词，t1,t2,…,tn是项，则P(t1,t2,…,tn)是原子公式

13、合式谓词公式：

1）原子公式

2） 用连接词（否定，析取，合取，条件，双条件）连接

3）量化

4）1）2）3）的有限次组合

14、谓词逻辑的翻译/谓词逻辑的符号化：把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来

15、作用域/辖域：被量化的范围（和C语言中的作用域相同，即变量赋值可作用的范围）如，其中x的作用域就是N(x)和I(x)

16、约束出现和约束变元：辖域中x的所有出现称为约束出现，x称为约束变元（即x在这个范围内被量化了）

17、自由出现和自由变元:不是约束出现的就是自由出现，这些个体变元称为自由变元。

18、项与谓词公式的代换：有3种替换

                       j项替换不同的个体变元

                       k将项中的个体变元用项全部替换

                       l将公式中所有自由出现的特定个体变元用项替换

19、项t对谓词公式A的自由变元x是自由的/可带入的：x是自由变元（只要有就行，不用全是）且x不出现在项t所含的其他任意个体变元的量词、的辖域内。

    只需看项t中除了x的其他个体变元中量词的辖域内有没有x即可。

20、闭式和开式：闭式/封闭的合式公式：任意一个谓词公式全是约束变元

               开式/开放公式：任意一个谓词公式全是自由变元

21、解释：解释有4个部分

1）定义域         用于个体变元（确定论域 如规定x的论域是{1，2}）

2）特殊值         用于个体常元（如a=0）

3）特定的函数    用于函数符号，就是一个函数符号f(x,y,z,…)被赋予了特殊的含义，例如是加法之类的

4）特定的谓词    用于谓词符号，同上

22、解释的赋值：就是将解释中的东西赋值给谓词公式

23、谓词逻辑解释的赋值满足谓词公式：解释I中的一个赋值（因为变元是论域，所以有多种情况，就如同真值表）使谓词公式为真

24、几乎等同赋值/x-等同赋值：除了在x处可能不等，对其他的个体变元都相同

25、在解释I中的真/假：真：解释I中每个赋值都满足公式A（在这个解释中是永真的）

                      假：解释I中没有赋值满足A

26、谓词逻辑的永真式：就是将逻辑谓词中的公式代入永真式的命题变元中，称带入后的谓词逻辑是带入前命题的带入实例。（类似代入规则）

27、逻辑有效：谓词公式在每个解释下都是真的（类似永真式）

    矛盾：谓词公式在每个解释下都是假的（类似永假式）