【算法】高精度

当数据的值特别大，各种类型都存不下的时候，此时就要用高精度算法来计算加减乘除：

1. 先用字符串读入这个数，然后用数组逆序存储该数的每一位。
2. 利用数组，模拟加减乘除运算的过程。

高精度算法本质上还是模拟算法，用代码模拟小学列竖式计算加减乘除的过程。

1.高精度加法

P1601 A+B Problem（高精）

解法：模拟

1. 用字符串读入数据。
2. 将字符串的每一位拆分，逆序放在数组中。
3. 模拟列竖式计算的过程：
   a. 对应位累加。
   b. 处理进位。
   c. 处理余数。
4. 处理结果的位数。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;
string x, y;

//高精度加法模版：c = a + b
void add(int c[], int a[], int b[])
{
	for(int i = 0; i < lc; i++)
	{
		c[i] += a[i] + b[i];     //对应位相加，再加上进位 
 		c[i + 1] += c[i] / 10;   //处理进位 
 		c[i] %= 10;              //处理余数  
	}
	
	if(c[lc]) lc++;
}

int main()
{
	cin >> x >> y;
	
	//1.拆分每一位，逆序放到数组中 
	la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);
	for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';
	for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0';
	
	//2.模拟加法过程 
	add(c, a, b);
	
	//3.输出结果 
	for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];
	
	return 0;
}

2.高精度减法

P2142 高精度减法

解法：模拟

1. 用字符串读入数据；
2. 判断两个数的大小，让较大的数在前。注意字典序vs数的大小：
   a. 位数相等：按字典序比较。
   b. 位数不等：按照字符串的长度比较。
3. 将字符串的每一位拆分，逆序放在数组中。
4. 模拟列竖式计算的过程：
   a. 对应位求差。
   b. 处理借位。
5. 处理前导零。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;
string x, y;

//比较两个数的大小 
bool cmp(string& x, string& y)
{
	//先比较长度 
	if(x.size() != y.size()) return x.size() < y.size();
	
	//再按照"字典序"比较 
	return x < y;
}

//高精度减法模版：c = a - b
void sub(int c[], int a[], int b[])
{
	for(int i = 0; i < lc; i++)
	{
		c[i] += a[i] - b[i];  //对应位相减 
		if(c[i] < 0)          //处理借位 
		{
			c[i + 1] -= 1;
			c[i] += 10;
		}
	}
	
	//处理前导零
	while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}

int main()
{
	cin >> x >> y;
	
	//比大小 
	if(cmp(x, y))
	{
		swap(x, y);
		cout << '-';
	}
	
	//1.拆分每一位，逆序放到数组中
	la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb); 
	for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';
	for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0';
	
	//2.模拟减法过程
	sub(c, a, b);
	
	//3.输出结果 
	for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];
	
	return 0;
}

3.高精度乘法

P1303 A*B Problem

解法：模拟

无进位相乘再相加：

1. 还是「列竖式」，但是每一位相乘的时候不考虑进位，直接把乘的结果放在对应位上。
2. 等到所有对应位置「乘完」并且「累加完」之后，「统一处理进位」。

如下图所示：

1. 用字符串读入数据。
2. 将字符串的每一位拆分，逆序放在数组中。
3. 模拟无进位相乘再相加的过程：
   a. 对应位求乘积。
   b. 乘完之后处理进位。
   c. 处理余数。
4. 处理前导零。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;
string x, y;

//高精度乘法模版：c = a * b
void mul(int c[], int a[], int b[])
{
	//1.无进位相乘，再相加
	for(int i = 0; i < la; i++)
	{
		for(int j = 0; j < lb; j++)
		{
			c[i + j] += a[i] * b[j];
		} 
	} 
	
	//2.处理进位 
	for(int i = 0; i < lc; i++)
	{
		c[i + 1] += c[i] / 10;
		c[i] %= 10;
	}
	
	//3.处理前导零 (123 * 0) 
	while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
} 

int main()
{
	cin >> x >> y;
	
	//1.拆分每一位，逆序放到数组中
	la = x.size(); lb = y.size(); lc = la + lb;
	for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';
	for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0';
	
	//2.模拟乘法过程
	mul(c, a, b);
	
	//3.输出结果 
	for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];
	
	return 0;
}

4.高精度除法

P1480 A/B Problem

解法：模拟

模拟小学「列竖式」计算「两数相除」的过程（注意：这是里「高精度 ÷ 低精度」）

定义一个指针 i 从「高位」遍历被除数，一个变量 t 标记当前「被除的数」，记除数是b 。

1. 更新一个当前被除的数 t = t × 10 + a[i]。
2. t/b 表示这一位的商，t%b 表示这一位的余数。
3. 用 t 记录这一次的余数，遍历到下一位的时候重复上面的过程。

被除数遍历完毕之后，t 里面存的就是余数，但是商可能存在前导0，注意清空。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b, c[N];
int la, lc;
string x;

//高精度/低精度模版：c = a / b
void div(int c[], int a[], int b)
{
	long long t = 0; //标记每次除完之后的余数 
	for(int i = lc - 1; i >= 0; i--)
	{
		//计算当前的被除数 
		t = t * 10 + a[i];
		c[i] = t / b;
		t %= b;
	}
	
	while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
} 

int main()
{
	cin >> x >> b;
	
	//1.拆分每一位，逆序放到数组中
	la = x.size(); lc = la;
	for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';
	
	//2.模拟除法过程
	div(c, a, b);
	
	//3.输出结果 
	for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];
	
	return 0;
}