利用MATLAB验证因果有始信号卷积的性质

HUSToei小白

已于 2023-11-11 19:50:30 修改

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文章标签： matlab 开发语言信号处理

于 2023-11-11 19:40:42 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2203_75914113/article/details/134278906

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本文通过MATLAB实例展示了因果信号的卷积过程，包括阶跃函数和矩形信号的卷积，以及它们对幅值的影响，验证了课堂上的理论知识。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

因果有始信号的卷积结果具有非常鲜明的性质，也是我们在信号与系统课程中需要记忆的重要结论，为了加深自己的印象和与大家交流互鉴，我在这里做一个简单的陈述，并尝试利用MATLAB画图直观地展现结果。

公式

连续函数：

$x_1(t)u(t-t_1)\ast x_2(t)u(t-t_2)=\{\int_{t_1}^{t-t_2}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau\}u(t-t_1-t_2)$

离散函数：

$x_1[n]u[n-n_1]\ast x_2[n]u[n-n_2]=\{\sum_{\tau=n_1}^{n-n_2}x_1[\tau]x_2[n-\tau]\}u[n-n_1-n_2]$

阶跃函数卷积

不妨取信号1为 $u(t-4)$ ，信号2为 $u(t-6)$ ，公式推导：

$u(t-4)\ast u(t-6)=\{\int_{4}^{t-6}d\tau\}u(t-4-6)=(t-10)u(t-10)$

代码

t = -20:0.01:20;
f_1 = heaviside(t-4);
f_2 = heaviside(t-6);
f_3 = conv(f_1, f_2, 'same');
plot(t, f_3);

其中heaviside函数用来生成阶跃函数，这里不在赘述。

图样

不难发现与理论情况相符，即验证。至于倍数放大的“异常”情况的原因，我在另一篇文章里有简要叙述。

MATLAB卷积函数conv的运算原理对信号幅值的影响

矩形信号的卷积

不妨取信号1为 $u(t+3)-u(t+1)$ ，信号2为 $u(t-1)-u(t-3)$ ，公式推导：

$f(t)=[u(t+3)-u(t+1)]\ast[u(t-1)-u(t-3)]=\{\int_{-3}^{t-1}1d\tau\}u(t-1+3)-\{\int_{-3}^{t-3}1d\tau\}u(t-3+3)-\{\int_{-1}^{t-1}1d\tau\}u(t-1+1)+\{\int_{-1}^{t-3}1d\tau\}u(t-3+1)=(t+2)u(t+2)-tu(t)-tu(t)+(t-2)u(t-2)=(t+2)u(t+2)-2tu(t)+(t-2)u(t-2)$

结果即为：

$f(t)=(t+2)u(t+2)-2tu(t)+(t-2)u(t-2)$

化为分段函数：

$f(t)=\left\{ \begin{array}{rr} 0 & t<2 \\ t+2 & -2\leq t \leq 0 \\ -t+2 & 0\leq t \leq 2 \\ 0 & t>2 \\ \end{array} \right .$

代码

t = -20:0.01:20;
f_1 = heaviside(t-1)-heaviside(t-3);
f_2 = heaviside(t+3)-heaviside(t+1);
f_3 = conv(f_1, f_2, 'same');
plot(t, f_3);

图样

其中关于幅值问题的讨论同上一部分。