排序算法——快速排序

快速排序是一种基于分治策略的排序算法，运行高效，应用广泛。

快速排序的核心就是“哨兵划分”，其目的是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，其左边均为小于基准数的数，其右边均为大于基准数的数。

哨兵划分完成后，原数组被划分成三部分：左子数组、基准数、右子数组，且满足“左子数组任意元素 ≤ 基准数 ≤ 右子数组任意元素”。因此，我们接下来只需对这两个子数组进行排序。之后进行了两次复杂度优化，一次是对基准数的选取，优化时间复杂度，一次是对递归数组的选取，优化空间复杂度。

目录

一.算法流程

二.算法特性

三.快速排序为什么快

四.基准数优化

五.尾递归优化

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一.算法流程

快速排序的整体流程如下

1. 首先，对原数组执行一次“哨兵划分”，得到未排序的左子数组和右子数组。
2. 然后，对左子数组和右子数组分别递归执行“哨兵划分”。
3. 持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序。

public class demo{

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums={7,3,2,6,9,8,5};
        quickSort(nums,0,nums.length-1);
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            System.out.print(nums[i]+" ");
        }
    }
    /* 快速排序 */
    static void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
        // 子数组长度为 1 时终止递归
        if (left >= right)
            return;
        // 哨兵划分
        int pivot = partition(nums, left, right);
        // 递归左子数组、右子数组
        quickSort(nums, left, pivot - 1);
        quickSort(nums, pivot + 1, right);
    }
    /* 元素交换 */
    static void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int tmp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = tmp;
    }
    /* 哨兵划分 */
    static int partition(int[] nums, int left, int right) {
        // 以 nums[left] 为基准数
        int i = left, j = right;
        while (i < j) {
            while (i < j && nums[j] >= nums[left])
                j--;          // 从右向左找首个小于基准数的元素
            while (i < j && nums[i] <= nums[left])
                i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素

            swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
        }
        swap(nums, i, left);  // 将基准数交换至两子数组的分界线
        return i;             // 返回基准数的索引
    }
}

在这代码里边有一点需要注意

            while (i < j && nums[j] >= nums[left])
                j--;          // 从右向左找首个小于基准数的元素
            while (i < j && nums[i] <= nums[left])
                i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素

先从右往左找比基准数小的数，再从左往右找比基准数大的数，为什么呢？

举个例子：

这里有一个数组{7,3,2,6,9,8,5};
如果先左往右找大值，最终左指针指向9
然后从右往左找小值，最终右指针指向5
两者交换位置{7,3,2,6,5,8,9};
然后继续循环，此时左指针指向8，然后右指针指向8
最后基准数与8交换位置，最终数组变为{8,3,2,6,5,7,9};
此时7左边的数字并不全大于基准数7，出现错误，违背初衷

所以说应该先让右指针找最小值，最后左指针只能顺着右指针，二者重合的时候必定是满足比基准数小的心意的，此时才能将小值放在基准数左边，大值放在基准数右边

二.算法特性

• 时间复杂度为 O(nlog⁡n)、非自适应排序：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 log⁡n ，每层中的总循环数为 n ，总体使用 O(nlog⁡n) 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 n 的数组划分为长度为 0 和 n−1 的两个子数组，此时递归层数达到 n ，每层中的循环数为 n ，总体使用 O(n2) 时间。
• 空间复杂度为 O(n)、原地排序：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 n ，使用 O(n) 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。
• 非稳定排序：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。

三.快速排序为什么快

从名称上就能看出，快速排序在效率方面应该具有一定的优势。尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，主要有以下原因。

• 出现最差情况的概率很低：虽然快速排序的最差时间复杂度为 O(n2) ，没有归并排序稳定，但在绝大多数情况下，快速排序能在 O(nlog⁡n) 的时间复杂度下运行。
• 缓存使用效率高：在执行哨兵划分操作时，系统可将整个子数组加载到缓存，因此访问元素的效率较高。而像“堆排序”这类算法需要跳跃式访问元素，从而缺乏这一特性。
• 复杂度的常数系数小：在上述三种算法中，快速排序的比较、赋值、交换等操作的总数量最少。这与“插入排序”比“冒泡排序”更快的原因类似。

四.基准数优化

快速排序在某些输入下的时间效率可能降低。举一个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 n−1、右子数组长度为 0 。如此递归下去，每轮哨兵划分后都有一个子数组的长度为 0 ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”的近似形式。

为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化哨兵划分中的基准数的选取策略。例如，我们可以随机选取一个元素作为基准数。然而，如果运气不佳，每次都选到不理想的基准数，效率仍然不尽如人意。

需要注意的是，编程语言通常生成的是“伪随机数”。如果我们针对伪随机数序列构建一个特定的测试样例，那么快速排序的效率仍然可能劣化。

为了进一步改进，我们可以在数组中选取三个候选元素（通常为数组的首、尾、中点元素），并将这三个候选元素的中位数作为基准数。得到真正的left基准数，防止因为基准数，选择不恰当导致时间复杂度变高

/* 选取三个候选元素的中位数 */
int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    int l = nums[left], m = nums[mid], r = nums[right];
    if ((l <= m && m <= r) || (r <= m && m <= l))
        return mid; // m 在 l 和 r 之间
    if ((m <= l && l <= r) || (r <= l && l <= m))
        return left; // l 在 m 和 r 之间
    return right;
}

/* 哨兵划分（三数取中值） */
int partition(int[] nums, int left, int right) {
    // 选取三个候选元素的中位数
    int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
    // 将中位数交换至数组最左端
    swap(nums, left, med);
    // 以 nums[left] 为基准数
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= nums[left])
            j--;          // 从右向左找首个小于基准数的元素
        while (i < j && nums[i] <= nums[left])
            i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素
        swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left);  // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i;             // 返回基准数的索引
}

五.尾递归优化

在某些输入下，快速排序可能占用空间较多。以完全有序的输入数组为例，设递归中的子数组长度为 m ，每轮哨兵划分操作都将产生长度为 0 的左子数组和长度为 m−1 的右子数组，这意味着每一层递归调用减少的问题规模非常小（只减少一个元素），递归树的高度会达到 n−1 ，此时需要占用 O(n) 大小的栈帧空间。

为了防止栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，仅对较短的子数组进行递归，较长的子数组放在下一次快速排序中，这样可以减少递归深度，减少空间复杂度。由于较短子数组的长度不会超过 n/2 ，因此这种方法能确保递归深度不超过 log⁡n ，从而将最差空间复杂度优化至 O(log⁡n) 。代码如下所示：

/* 快速排序（尾递归优化） */
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        int pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1; // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}