数据结构 -- 图的基本概念-优快云博客

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图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V, E),其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系(边)集合。若V={v?,v2,…,vn},则用IV表示图G中顶点的个数，E={(u,v)|u∈V,v∈V},用回表示图G中边的条数。

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但是图不可以是空图。

V一定非空，但E可以为空，此时图中只有顶点而没有边。

1.有向图

若E是有向边(也称弧)的有限集合，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v,w>,

其中v,w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v,w>称为从v到w的弧，也称v邻接到w。

2.无向图

若E是无向边(简称边)的有限集合，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为(v, w)或

(w,v)。可以说w和v互为邻接点。边(v,w)依附于w和v,或称边(v,w)和v,w相关联。

3.简单图和多重图

一个图G若满足：①不存在重复边；②不存在顶点到自身的边，则称图G为简单图。若图G中某两个顶点之间的边数大于1条，又允许顶点通过一条边和自身关联，则称图G为多重图。多重图和简单图的定义是相对的。数据结构课程中仅讨论简单图。

对于无向图：

顶点v的度指依附于顶点v的边的条数，记为TD(v)。

无向图的全部顶点的度之和等于边数的2倍，因为每条边和两个顶点相关联。

对于有向图：

顶点 v的度分为入度和出度，入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；而出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。

顶点v的度等于其入度与出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)。

有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个起点和终点。

路径 – 顶点 vp到顶点 vq之间的一条路径是指顶点序列vp,vi1,Vi2,…,vim,vq

回路 – 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。

简单路径 – 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。

简单回路 – 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

路径长度 – 路径上的边的数目称为路径长度。

点到点的距离 – 从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷(∞)。

连通 – 在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的。

强连通 – 在有向图中，若有一对顶点v和w,从v到w和从w到v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。

连通图 – 在无向图中，任意两个顶点都是连通的。

强连通图 – 在有向图中，任意两个顶点都是强连通的。

【常见考点】

对于n个顶点的无向图G，

若G是连通图，则最少有n-1条边

若G是非连通图，则最多有C(2,n−1)条边

对于n个顶点的有向图G，保证其强连通的最少边数是n（形成回路）

子图 (Subgraph):
如果有两个图 ( G = (V, E) ) 和 ( G’ = (V’, E’) )，其中 ( V’⊆V ) 且 ( E’ ⊆ E )，则称图 ( G’ ) 是图 ( G ) 的子图。这意味着，图 ( G’ ) 包含图 ( G ) 的一部分顶点和边，但不必包括所有顶点和边。
生成子图 (Induced Subgraph):
如果图 ( G = (V, E) ) 和 ( G’ = (V’, E’) ) 满足 ( V’ ⊆ V )，即 ( G’ ) 是图 ( G ) 在顶点集合 ( V’ ) 上的一个子图，并且 ( G’ ) 包含所有在 ( V’ ) 中的顶点对的边，则称图 ( G’ ) 是图 ( G ) 的生成子图。换句话说，生成子图不仅包含 ( V’ ) 中的顶点，还必须包含原图中所有连接这些顶点的边。