【算法】时间/空间复杂度是啥？（小白也能理解）

1、时间复杂度

1.1 什么是时间复杂度

简单说，它是用来衡量一个算法「执行步骤」随着数据量增大时的增长趋势。比如：

• 煮一锅水需要5分钟（无论水量多少）→ 时间复杂度O(1)
• 检查100个学生是否到齐需要逐个点名 → 时间复杂度O(n)
• 全班同学两两握手需要100*99次 → 时间复杂度O(n²)

1.2 如何计算？

三步走：

1. 找最耗时的部分（通常是循环）
   ▪️ 单层循环：执行n次 → O(n)
   ▪️ 双层嵌套循环：n*n次 → O(n²)

2. 忽略次要因素
   ▪️ 计算表达式（如3n²+5n+10）→ 只保留最高阶项n²
   ▪️ 去掉系数（如2n² → 简化为n²）

3. 常见类型对比
   ▪️ O(1)：固定步骤（如数组取元素）
   ▪️ O(n)：线性增长（如遍历数组）
   ▪️ O(log n)：每次砍半（如二分查找）
   ▪️ O(n²)：平方增长（如冒泡排序的最坏情况）

1.3 实际案例

假设代码：

for i in range(n):       # 执行n次 
    print("步骤1")       # 执行n次 
    for j in range(n):   # 执行n*n次 
        print("步骤2")   # 执行n*n次 

总步骤 = n + n + n² + n² = 2n² + 2n → 简化为O(n²)

循环套几层，复杂度就指数级增长；数据量越大，高阶项的影响越明显。

关于空间复杂度的概念和计算方法，我用最通俗的方式解释如下：

---

2、空间复杂度

2.1 什么是空间复杂度？

简单说，它是用来衡量一个算法运行过程中额外占用内存空间随着数据量增大的增长趋势。

例如：

• 煮一锅水只需要一个锅（无论水量多少）→ 空间复杂度 O(1)

• 给全班同学每人发一本作业本 → 需要 n 本作业本的空间 → 空间复杂度 O(n)

• 递归计算阶乘时，每层递归都要存一个临时值 → 递归深度为 n → 空间复杂度 O(n)

注意：

1. 这里说的“额外空间”不包括输入数据本身占用的空间（比如输入一个数组本身不算额外空间）。
2. 空间复杂度关注的是算法运行过程中临时开辟的内存（比如新建的变量、数组、递归调用栈等）。

---

2.2 如何计算？

三步法：

1. 找变量

• 关注算法中显式创建的变量或数据结构：
• 固定变量（如单个数字、字符串）→ 空间复杂度 O(1)
• 动态分配的空间（如长度为 n 的数组、递归调用栈深度为 n）→ 空间复杂度 O(n)

2. 看增长关系

• 分析变量大小是否随输入数据量（n）变化：
• 例1：循环中创建了一个固定大小的临时数组 → O(1)
• 例2：循环中创建了一个长度为 n 的数组 → O(n)
• 例3：递归调用深度为 log n → O(log n)

3. 简化规则（和大O时间复杂度类似）

• 忽略常数项：如 O(2n+100) → 简化为 O(n)
• 保留最高阶项：如 O(n² + 3n) → 简化为 O(n²)
• 所有常数空间 → O(1)

---

2.3 常见类型对比

类型	例子	典型场景
O(1)	固定变量（如计数器）	简单循环、变量交换
O(n)	动态数组、递归调用栈	遍历生成数组、单层递归
O(n²)	二维数组、嵌套数据集合	矩阵运算、动态规划表格
O(log n)	分治算法的递归调用栈	二分查找、快速排序递归深度

---

2.4 实际案例

案例1：O(1) 空间

def sum_numbers(n):
    total = 0          # 固定变量 → O(1)
    for i in range(n): # 循环变量i → O(1)
        total += i
    return total

分析：无论 n 多大，只用到了 total 和 i 两个固定变量 → 空间复杂度 O(1)

案例2：O(n) 空间

def create_array(n):
    arr = []           # 动态数组 → O(n)
    for i in range(n):
        arr.append(i)  # 数组长度随n增长
    return arr

分析：创建了一个长度为 n 的数组 → 空间复杂度 O(n)

---

总结

• 口诀：变量随数据量变，复杂度就跟着变；递归层数分情况，临时数组看长度。
• 关键区别：时间看步骤增长，空间看内存占用增长。
• 优化思路：优先降低时间复杂度，空间不足时再优化空间复杂度（如用变量覆盖代替新建数组）。