图的拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)

最新推荐文章于 2025-03-19 21:33:33 发布
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分类专栏： 图像/视觉
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本文介绍了图的拉普拉斯矩阵，包括定义、无向加权图的特性，如对称半正定性、特征值性质等。此外，还提到了标准化拉普拉斯矩阵的两种形式，并指出图谱理论在Spectral Clustering、Spectral Hashing等视觉领域技术中的应用。

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Definition

如前述文章“图的基本知识”中所述，对于一个具有个顶点的图 ，用对角阵描述图各顶点的度，矩阵为其邻接矩阵，则定义Laplacian matrix为：

最低0.47元/天 解锁文章
拉普拉斯矩阵/映射/聚类
yujianmin1990的专栏
09-13 2万+
拉普拉斯矩阵是个非常巧妙的东西，它是描述图的一种矩阵，在降维，分类，聚类等机器学习的领域有很广泛的应用。
python计算机视觉学习———图像聚类
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qimingxia的博客
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文章目录6.1 K-means聚类6.1.1 SciPy 聚类包6.1.2 图像聚类 6.1 K-means聚类 K-means 是一种将输入数据划分成 k 个簇的简单的聚类算法。K-means 反复提炼初 始评估的类中心。 k-means算法中的k代表类簇个数，means代表类簇内数据对象的均值（这种均值是一种对类簇中心的描述），因此，k-means算法又称为k-均值算法。k-means算...
图(Graph)上的Laplacian矩阵
qq_28404829的博客
11-15 2820
图上的Laplacian矩阵拉普拉斯矩阵拉普拉斯矩阵与拉普拉斯算子的关系 拉普拉斯矩阵 拉普拉斯矩阵与拉普拉斯算子的关系 图拉普拉斯矩阵，如果把它看作线性变换的话，它起的作用与数学分析中的拉普拉斯算子是一样的。也就是说拉普拉斯矩阵就是图上的拉普拉斯算子，或者说是离散的拉普拉斯算子。 这部分没看懂，记住结论就好了。我就是一个学计算机，怎么又扯到数学分析上了，不归路呀… 哪天在看看数学分析吧 参考...
【深度学习与大模型基础】第7章-特征分解与奇异值分解
最新发布
wuai66的博客
03-19 882
对于一个 n×n 的方阵 A ，如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ ，使得：则称 λ 为矩阵 A 的特征值，v 为对应的特征向量。特征分解将矩阵 A 分解为：其中：Q 是由特征向量组成的矩阵，Λ 是由特征值组成的对角矩阵。对于一个 m×n 的矩阵 A，SVD 将其分解为：其中：U 是一个 m×m 的正交矩阵，其列向量称为左奇异向量。Σ 是一个 m×n 的对角矩阵，其对角线上的非负元素称为奇异值（通常按从大到小排列）。V 是一个 n×n 的正交矩阵，其列向量称为右奇异向量。
graph Laplacian 拉普拉斯矩阵
m0_37692953的博客
07-11 7713
graph Laplacian 拉普拉斯矩阵2017年01月27日 21:01:53阅读数：8262拉普拉斯矩阵是个非常巧妙的东西，它是描述图的一种矩阵，在降维，分类，聚类等机器学习的领域有很广泛的应用。什么是拉普拉斯矩阵拉普拉斯矩阵　　先说一下什么是拉普拉斯矩阵，英文名为Laplacian matrix，其具体形式得先从图说起，假设有个无向图如下所示， 　　　　其各个点之间的都有相应的边连接，我...
图的拉普拉斯矩阵
来日比不过方长
12-16 963
Laplacian（是度的对角矩阵，是图的邻接矩阵） Random-walk Laplacian Degree-corrected Random-walk Laplacian（为指定的常数） Normalized Laplacian Degree-corrected Normalized Laplacian
图拉普拉斯矩阵
skysys的研究小屋
12-14 1770
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>0，则称M为正定矩阵。狭义定义：一个n阶的M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>0。A=CTC。
S21-graph-laplacians:UCSB CS 292F.300 2021Spring的课程材料
03-27
总之，"S21-graph-laplacians"的课程内容涵盖了一门深度探索图的数学特性的学科，这对于我们理解和解决复杂网络问题提供了强大的工具。通过学习图拉普拉斯算子和光谱图理论，不仅可以深化对图论的理解，还能为实际的...
Laplacians.jl软件包：图论算法与频谱优化
综合上述内容，我们得知Laplacians.jl是一个专注于图形算法的Julia软件包，它将图拉普拉斯算子作为核心工具来解决图论中的各种问题，如图的聚类和优化，其代码实现采用稀疏邻接矩阵以提高效率，并且目前版本支持...
四种常用聚类及代码（二）：谱聚类（spectral clustering）
盘一哈nlp
04-28 6700
谱聚类1、谱聚类概述1.1、简单说明2、数学准备2.1、谱2.2、无向权重图2.3、相似矩阵2.3.1、ϵ-neighborhood graph：2.3.2、k-nearest nerghbor graph：2.3.3、fully connected graph:2.4、拉普拉斯矩阵3、切图聚类3.1、切图3.2、三种切图方法3.2.1、最小切（mincut）3.2.2、RatioCut切图3.2...
有向图的拉普拉斯矩阵：此函数返回任何图 (DAG) 的有向拉普拉斯矩阵。-matlab开发
05-29
此函数返回任何图 (DAG) 的有向拉普拉斯矩阵。 这是下面提到的论文的直接实现。 Graph Laplacian 使用以下公式计算L = I - (Phi^{1/2} * P * Phi^{-1/2} + Phi^{-1/2} * P^T * Phi^{1/2} ) / 2 在哪里， I ：单位矩阵， Phi ：对角线上 P 的 Perron 向量和其他地方为零的矩阵，以及P : 图的转移矩阵。 这个值取决于步行图探索的类型。 !! 当前实现仅包括“PageRank”步行类型。 !! 未来实施计划：“随机游走” 参考论文： Chung, F. (2005)。 有向图的拉普拉斯算子和 Cheeger 不等式。 组合年鉴，9（1），1-19。
JAVA求矩阵表示的有向图的强连通分支
09-25
1． 对矩阵表示的有向图，求出其所有的强连通分支，并指出最大强连通分支。最大连通分支定义为包含结点数最多的连通分支。
图的拉普拉斯矩阵与谱聚类
houxiaogang05
10-09 4273
转载：https://www.jianshu.com/p/0e59e944a3ff http://www.datasciencelab.cn/clustering/spectral https://www.jianshu.com/p/881f5dd4c209 （公式推导） 1. 相关概念科普 度矩阵 度矩阵为对角矩阵，对角线上的值表示 与该点 有来往的 其他点的个数 即度 为 与节点 ...
什么是图的拉普拉斯矩阵？
...
05-31 1232
图的拉普拉斯矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于图论、网络分析、信号处理以及机器学习等领域，尤其是在谱图理论中占据核心地位。对于一个给定的图 (G=(V,E))，其中 (V) 是顶点集合，(E) 是边的集合，拉普拉斯矩阵 (L) 被定义为度矩阵 (D) 减去邻接矩阵 (A)，即 (L = D - A)。在谱图理论中，通过对拉普拉斯矩阵进行特征分解并分析其特征值和特征向量，我们可以获得关于图的很多重要信息，比如图的连通性、图的割集、最大流最小割问题、图的扩张性质等。是非零向量，称为对应的特征向量。
图谱卷积预备知识1：拉普拉斯矩阵
11-09 4927
随着图卷积的兴起，越来越多的人往这个方向前进。学习其预备知识，必不可少。
深入理解图的拉普拉斯矩阵：图数据处理的核心工具
m0_68989328的博客
12-24 1728
图的拉普拉斯矩阵是用来描述图结构和节点关系的一个重要数学对象。它通过图的邻接关系以及节点的度来刻画图的结构，广泛应用于图论、图神经网络、谱图理论等领域。假设我们有一个无向图 $ G = (V, E) $，其中 $ V $ 是节点集合，$ E $ 是边集合。拉普拉斯矩阵 $ L $ 主要有两种常见的形式：标准拉普拉斯矩阵和归一化拉普拉斯矩阵。
harary图的拉普拉斯矩阵
08-18
### 回答1： Harary图是一种无向图，其中每个节点的度数相等。它的拉普拉斯矩阵是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中 $n$ 是节点数。设 $d$ 为节点的度数，则拉普拉斯矩阵可以表示为： $$L = D - A$$ 其中 $D$ 是对角矩阵，其对角线元素为节点的度数，$A$ 是邻接矩阵，如果节点 $i$ 和节点 $j$ 之间有边相连，则 $A_{i,j}=1$，否则 $A_{i,j}=0$。 在 Harary 图中，所有节点的度数相等，设为 $d$，则 $D$ 为 $n \times n$ 的对角矩阵，其对角线元素均为 $d$。而邻接矩阵 $A$ 中，每行恰有 $d$ 个 $1$，因为每个节点的度数为 $d$，且该图为无向图，因此 $A$ 是一个对称矩阵。因此，Harary 图的拉普拉斯矩阵可以表示为： $$L = dI - A$$ 其中 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。 ### 回答2： 哈拉里图的拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix of a Harary graph）是描述哈拉里图拓扑结构的一个矩阵。哈拉里图是一种特殊的图，具有以下性质：任意两个节点之间的距离都相等，并且每个节点的度数相同。 拉普拉斯矩阵是图论中一种常见的矩阵表示方法，用于刻画图的性质和特征。对于哈拉里图而言，其拉普拉斯矩阵定义如下： 假设哈拉里图具有n个节点，那么其拉普拉斯矩阵L是一个n×n的矩阵，其元素由以下规则确定： - 如果节点i和节点j相邻，则$L_{ij}=-1$； - 如果节点i的度数为d，则$L_{ii}=d$； - 其他位置的元素为0。 拉普拉斯矩阵的性质和特征与图的连通性、切割、谱等有关。它是一个对称半正定矩阵，具有特征值为非负实数的性质。拉普拉斯矩阵的零特征值个数等于图的连通分量数量，其非零特征值的个数则等于图的割边数量。通过计算拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，可以进一步研究哈拉里图和其他图的性质。 总之，哈拉里图的拉普拉斯矩阵是描述该图拓扑结构的一个矩阵，通过研究该矩阵的性质和特征，我们可以深入理解哈拉里图以及其他图在连通性和切割方面的特征。 ### 回答3： 哈拉利图的拉普拉斯矩阵是指一种对哈拉利图进行数学描述的矩阵。拉普拉斯矩阵是一个n阶矩阵，如果哈拉利图有n个节点，那么拉普拉斯矩阵为n*n的矩阵。拉普拉斯矩阵的定义有多种形式，其中最常见的是度数矩阵和邻接矩阵的差值。 拉普拉斯矩阵的度数矩阵是一个对角矩阵，对角线元素为对应节点的度数（即与该节点相连的边的数量），而邻接矩阵用1和0表示节点之间是否存在边，对应位置为1表示存在边，为0表示不存在边。将度数矩阵和邻接矩阵相减，就得到了哈拉利图的拉普拉斯矩阵。 拉普拉斯矩阵具有一些重要的性质。首先，拉普拉斯矩阵是一个实对称矩阵，所有的特征值都大于等于0。其次，拉普拉斯矩阵的零特征值的个数等于哈拉利图的连通分量的个数。如果哈拉利图是连通的，则拉普拉斯矩阵只有一个零特征值。最后，拉普拉斯矩阵的特征向量对应于哈拉利图的划分。 哈拉利图的拉普拉斯矩阵在图论和网络分析中有很多应用。它可以用于图的聚类、图的切割和图的嵌入等问题。此外，拉普拉斯矩阵还与电路理论和微分方程等领域有关联。通过对拉普拉斯矩阵的研究，我们可以更好地理解和分析哈拉利图的结构和性质。
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