HDOJ GCD 2588【欧拉函数】

最新推荐文章于 2018-05-10 15:35:37 发布

豫帝哥哥

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分类专栏： HDOJ☚☚☚☚☚☚ ======【数☆学】====== 数论欧拉函数文章标签：算法数论二分查找优化 c++

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本文介绍了一种计算特定区间内整数与给定整数最大公约数大于指定阈值的数量的高效算法。通过分析和利用数学特性，如欧拉函数等，避免了直接计算带来的超时问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

GCD

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1294 Accepted Submission(s): 583

Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

Output

For each test case,output the answer on a single line.

Sample Input

Sample Output

1
6
260

题意：

计算1-N区间里有多少数和N的GCD是大于M的。

解题思路：

直接计算绝对超时，所以要想到采用一些定理来进行优化。

①我们先看两个数 N = a*b，X= a*d。因为gcd ( N , X ) = a 所以b,d这两个数互质。又因为d可以是任何一个小于b的数。所以d值数量的的多少就是b的欧拉函数值。

所以，我们可以枚举a，然后去求b，然后再求b的欧拉函数值。

②但是如果单纯这样全部枚举的话依旧会超时，所以我们要想一个办法去优化它。

我们可以折半枚举，这里的折半并不是二分的意思。

我们先看，我们枚举时，当i<sqrt(n),假设a=n / i，当i>sqrt(n)之后有b=n/i，我们观察到当n%i==0时，会出现一种情况，就是a*b==n。所以我们就可以只需要枚举sqrt(n)种情况，然后和它对应的情况就是 n/i。

我们这种枚举时间会快非常多。

AC代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int euler(int n)
{
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
           res=res/i*(i-1);
           while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res-=res/n;
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                if(i>=m)ans+=euler(n/i); //计算sqrt(n)左边的
                if(n/i>=m&&i*i!=n) ans+=euler(i);//计算sqrt(n)右边的i*i==n时，在上个语句已经执行
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}