Moore-Penrose广义逆矩阵

起源

设$A$是$n\times n$可逆方正，$b$是任意一个$n$维向量，则方程组

$$Ax=b$$ 总有解，且解$x$可表示为 $$x=A^{-1}b.$$
现在设$A$是$m\times n$可逆方正，$b$是一个$m$维向量，是否存在$m\times n$矩阵$G$，使得方程 $$Ax=b$$ 总有解，且解$x$可表示为 $$x=Gb.$$
这样的矩阵$G$就涉及到广义逆的概念。
广义逆也叫伪逆，一般是指Moore-Penrose广义逆矩阵。

定义

设$A \in C^{m\times n}$，如果$G \in C^{n\times m}$满足

$$(1)\quad AGA=A, \\ (2)\quad GAG=G, \\ (3)\quad (AG)^{H}=AG, \\ (4)\quad (GA)^{H}=GA,$$
则$G$为$A$的Moore-Penrose广义逆矩阵，简称M-P广义逆，记为$A^{+}$或者$A^{\dagger}$.
注：$A^{H}$为$A$的转置共轭矩阵.

广义逆的满秩算法

1. 设$A$为列满秩矩阵，则$A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$;
   • 设$A$为行满秩矩阵，则$A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$;
   • 设$A=LR$，其中$L$为列满秩矩阵，$R$为行满秩矩. 则 $$A^{+}=R^{+}L^{+}=R^{H}(RR^{H})^{-1}(L^{H}L)^{-1}L^{H}$$ .