初学凸包（凸包学习总结）

前言：

这几天一直在网上听清华大学的一门课叫《计算几何》，感觉老师讲的特别好，听到凸包了，这几天一直在想这个东西，却迟迟写不出代码，感觉还是太浮躁了，没有定下心来，所以在此总结一下凸包的学习以及相关的代码；还有就是关于向量方面接触太少了，估计还要恶补一下与向量有关的数据结构的基础知识。

正文：

补充知识：p叉乘q如果小于0，p在q的逆时针方向，如果大于0，p在q的顺时针方向。等于0共线。（toleft测试需要用到）

凸包：

凸包(Convex Hull)是一个计算几何(图形学)中的概念。在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的线性组合来构造.在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。

计算凸包的算法：Graham算法：这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（杂技协会主席，不学点杂技出门都不好意思说自己是程序员）

该算法的复杂度为O(nlgn)；

代码：

#include<stdio.h>  
#include<math.h>
#include<algorithm>  
#define eps 1e-10  
#define pi 3.1415926535898  
#define N 1010  
/* 
point[]：输入的点集 
ch[]：输出的凸包上的点集，按照逆时针方向排列 
n：point中的点的数目 
len：输出的凸包上的点的个数 
*/  
struct node  
{  
    double x,y;  
}point[N],ch[N];  
int n,len;  
double multi(node a,node b,node c) //a在cb左边则小于0 ，a在cb的右边则大于0 
{  
    return (a.x-c.x)*(b.y-c.y)-(a.y-c.y)*(b.x-c.x);  
}  
double dis(node a,node b)  //距离相同去最短 
{  
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));  
}  

void graham_scan(node point[N],node ch[N],int n)  
{  
    int i,j,k,top;  
    struct node t;  
    k=0; //找到最下且偏左的那个点  
    for(i=1;i<n;i++)  
        if(point[i].y<point[k].y||(point[i].y==point[k].y&&(point[i].x<point[k].x)))  
            k=i;  
    t=point[0];//将这个点指定为point[0];  
    point[0]=point[k];
    point[k]=t;  
     //按极角从小到大,距离偏短进行排序  
    for(i=1;i<n-1;i++)  
    {  
        k=i;//选择排序，每次至少找到一个极角最小的点 
        for(j=i+1;j<n;j++)  
           if(multi(point[j],point[k],point[0])>0||(fabs(multi(point[j],point[k],point[0]))<=eps&&  //multi为toleft检测，如果大于0说明被测的在右边极角小 
               (dis(point[0],point[j])<dis(point[0],point[k]))))  
               k=j; //k保存极角最小的那个点,或者相同距离原点最近  
       t=point[i];  
       point[i]=point[k];  
       point[k]=t;  
    }  
      //第三个点先入栈  
    ch[0]=point[0];  
    ch[1]=point[1];  
    ch[2]=point[2];  
    top=2; //判断与其余所有点的关系  
    for(i=3;i<n;i++)  
    {  
     //不满足向左转的关系,栈顶元素出栈  
      while(multi(point[i],ch[top],ch[top-1])>0||fabs(multi(point[i],ch[top],ch[top-1]))<=eps)  
          top--;  
      //当前点与栈内所有点满足向左关系,因此入栈  
      ch[++top]=point[i];  
    }  
    len=top+1;  
}  
int main()  
{  
   int i;  
 while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
 {  
     for(i=0;i<n;i++)  
         scanf("%lf%lf",&point[i].x,&point[i].y);  
     graham_scan(point,ch,n);  
     for(i=0;i<len;i++)  
         printf("%lf %lf\n",ch[i].x,ch[i].y);  
 }  
 return 0;  
}  

补充代码：