士兵杀敌（二）

//数据结构 之 树状数组
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int c[1000005];
int n;

int lowbit(int k)
{
    return k&(-k);
    //return k&(k^(k–1));
}

void add(int i,int x)
{
    while(i<=n){
        c[i]+=x;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int query(int num)
{
    int sum=0;
    while(num>0){
        sum+=c[num];
        num-=lowbit(num);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int m,t,a,b,i;
    //string s;
    char s[10];
    memset(c,0,sizeof(c));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&t);
        add(i,t);
    }

    while(m--){
        scanf("%s%d%d",s,&a,&b);
        if(s[0]=='Q')
            printf("%d\n",query(b)-query(a-1));
        else
            add(a,b);
    }
    return 0;
}

总结：数据结构之树状数组。（不得不说这种数据结构亦或说算法真的很巧妙哎）好好学习。

学习树状数组的一张非常非常重要的图片

以下讲解来自百度百科 树状数组

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。
这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

1、基本概念
假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
来观察这个图：【上图：树状数组的结构图】

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
这里有一个有趣的性质：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，利用机器补码特性即可：

int lowbit(int x)
{
        return x&(-x);
}

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：
step1:　令sum = 0，转第二步；
step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
可以看出，这个算法（查询）就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢？修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。
所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：
step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。
i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
对于数组求和来说树状数组简直太快了!

注：求lowbit(x)的建议公式：
lowbit(x) = x and (x xor (x - 1));
或lowbit(x) = x and (-x);
lowbit(x)即为2^k的值。


2、典型例题

（1）给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一些位置上的数字,加上一个数,减去一个数,或者乘上一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一段数字的和。
（2）求n个数中 k组提问 从t到t1个数字之和。

与线段树的比较
树状数组是一个可以很高效的进行区间统计的数据结构。在思想上类似于线段树，比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。

扩展到多维情况：以二维为例，用c[k1][k2]表示c[k1-(2^t1)+1][k2-(2^t2)+1] + ... + c[k1][k2]的总和。可以用类似的方法进行处理。复杂度为(logn)^k (k为维数)

树状数组相比线段树的优势：空间复杂度略低，编程复杂度低，容易扩展到多维情况。劣势：适用范围小，对可以进行的运算也有限制，比如每次要查询的是一个区间的最小值，似乎就没有很好的解决办法。