【POJ3090】Visible Lattice Points-欧拉函数应用

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本文介绍了一种利用欧拉函数解决可见格点问题的方法。针对一个整数N，求出在0到N范围内，与原点连线不经过其他整点的可见点数量。通过线性筛法计算欧拉函数值，并预处理前缀和，最终实现O(1)时间复杂度求解。

测试地址：Visible Lattice Points
题目大意：对于一个点 $(x,y)$ ，如果在它和 $(0,0)$ 之间连一条线段，这条线段不经过其他整点（横坐标和纵坐标均为整数的点），我们就称其为“可见的”。 $C$ 个询问，每个询问包含一个参数 $N$ ，请你求出对于所有 $0\le x,y\le N$ ，可见的整点 $(x,y)$ 有多少个。特别地， $(0,0)$ 不可见。
做法：这题需要应用欧拉函数的性质。
经过分析，我们知道对于整点 $(x,y)$ ，如果 $\gcd(x,y)=1$ ，也就是 $x$ 和 $y$ 互质时，它就是可见的。分三种情况考虑：1. $x>y$ ；2. $x<y$ ；3. $x=y$ 。对于第一种情况，我们要求出对于每一个 $x$ ，小于它的正整数中有多少个和它互质的数，我们发现这就是欧拉函数 $\varphi(x)$ 的定义，那么把它们加起来，满足这种情况的可见点数就为 $\varphi(2)+...+\varphi(N)+1$ （最后这个1是 $(1,0)$ ）。同理，满足第二种情况的可见点数也为 $\varphi(2)+...+\varphi(N)+1$ （最后这个1是 $(0,1)$ ）。对于第三种情况，很显然只有一个可见点 $(1,1)$ 。所以最后的答案就是： $2(\varphi(2)+...+\varphi(N))+3$ ，那么用线性筛求出欧拉函数值，然后预处理欧拉函数的前缀和即可 $O(1)$ 解决每个询问。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int T,N,phi[1010]={0},sum[1010]={0};
bool isprime[1010]={0};

void calc_phi()
{
  isprime[1]=1;
  for(int i=2;i<=1000;i++)
    phi[i]=i;
  for(int i=2;i<=1000;i++)
  {
    if (!isprime[i])
    {
      for(int j=1;i*j<=1000;j++)
      {
        if (j>1) isprime[i*j]=1;
        phi[i*j]=phi[i*j]*(i-1)/i;
      }
    }
  }
  sum[1]=0;
  for(int i=2;i<=1000;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}

int main()
{
  scanf("%d",&T);
  calc_phi();
  for(int t=1;t<=T;t++)
  {
    scanf("%d",&N);
    printf("%d %d %d\n",t,N,2*sum[N]+3);
  }

  return 0;
}