手撕算法——高精度

⾼精度

当数据的值特别⼤，各种类型都存不下的时候，此时就要⽤⾼精度算法来计算加减乘除：

• 先⽤字符串读⼊这个数，然后⽤数组逆序存储该数的每⼀位；
• 利⽤数组，模拟加减乘除运算的过程。

⾼精度算法本质上还是模拟算法，⽤代码模拟⼩学列竖式计算加减乘除的过程。

一、⾼精度加法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1601 A+B Problem（高精） - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述

2. 算法原理

模拟⼩学「列竖式」计算「两数相加」的过程。

1. ⽤字符串读⼊数据；

2. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；

假设输入字符串“439”，通过x[i] - '0'转换成数字439，通过画图得出规律：一个数字在两个数组的代码下标和为n-1-i。

3. 模拟列竖式计算的过程：

• a. 对应位累加；
• b. 处理进位；
• c. 处理余数。

4. 处理结果的位数。

3. 参考代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;

// 高精度加法的模版 - c = a + b;
void add(int c[], int a[], int b[])
{
    for(int i = 0; i < lc; i++)
    {
        c[i] += a[i] + b[i]; // 对应位相加，再加上进位
        c[i + 1] += c[i] / 10; // 处理进位
        c[i] %= 10; // 处理余数
    }

    if(c[lc]) lc++;//lc这个下标有值扩大数组，存放可能的进位，处理边界问题
}

int main()
{
    string x, y; cin >> x >> y;

    // 1. 拆分每一位，逆序放在数组中
    la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);
    for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';
    for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0';

    // 2. 模拟加法的过程
    add(c, a, b); // c = a + b
    
    // 输出结果
    for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];

    return 0;
}

二、⾼精度减法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P2142 高精度减法 - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述

2. 算法原理

模拟⼩学「列竖式」计算「两数相减」的过程。

1. ⽤字符串读⼊数据；

2. 判断两个数的⼤⼩，让较⼤的数在前。注意字典序vs数的⼤⼩：

• a. 位数相等：按字典序⽐较；
• b. 位数不等：按照字符串的⻓度⽐较。

 注意：字符串比较大小先看第一位

3. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；

4. 模拟列竖式计算的过程：

• a. 对应位相减求差；
• b. 处理借位（如果减的结果小于0往前借一位，然后这一位加上10）；

5. 处理前导零。

如997-996 ，结果为001去掉多余的两个0，当结果为000时，结果取0

3.参考代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;

// 比大小
bool cmp(string& x, string& y)
{
    // 先比较长度
    if(x.size() != y.size()) return x.size() < y.size();

    // 再按照 字典序 的方式比较
    return x < y;
}

// 高精度减法的模板 - c = a - b
void sub(int c[], int a[], int b[])
{
    for(int i = 0; i < lc; i++)
    {
        c[i] += a[i] - b[i]; // 对应位相减，然后处理借位
        if(c[i] < 0)
        {
            c[i + 1] -= 1; // 借位
            c[i] += 10;
        }
    }

    // 处理前导零
    while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}

int main()
{
    string x, y; cin >> x >> y;

    // 比大小
    if(cmp(x, y))
    {
        swap(x, y);
        cout << '-';
    }

    // 1. 拆分每一位，然后逆序放在数组中
    la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);
    for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';
    for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0';

    // 2. 模拟减法的过程
    sub(c, a, b); // c = a - b
    
    // 输出结果
    for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];

    return 0;
}

三、⾼精度乘法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1303 A*B Problem - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述

2. 算法原理 

1. ⽤字符串读⼊数据；

2. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；

3. 模拟⽆进位相乘再相加的过程：

• a. 对应位求乘积；
• b. 乘完之后处理进位；
• c. 处理余数；

4. 处理前导零。 

⽆进位相乘再相加：

• 还是「列竖式」，但是每⼀位相乘的时候不考虑进位，直接把乘的结果放在对应位上；
• 等到所有对应位置「乘完」并且「累加完」之后，「统⼀处理进位」。

如下图所⽰：

注意：与高精度加法、减法不同的是两个数（x，y）相乘最多会出现(x+y)位数 ，如最大的两位数99与最大的三位数999相乘的值为五位数98901。

3. 参考代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;

// 高精度乘法的模版 - c = a * b
void mul(int c[], int a[], int b[])
{
    // 无进位相乘,然后相加
    for(int i = 0; i < la; i++)
    {
        for(int j = 0; j < lb; j++)
        {
            c[i + j] += a[i] * b[j];
        }
    }

    // 处理进位
    for(int i = 0; i < lc; i++)
    {
        c[i + 1] += c[i] / 10;
        c[i] %= 10;
    }

    // 处理前导零
    while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}

int main()
{
    string x, y; cin >> x >> y;

    // 1. 拆分每一位，逆序放在数组中
    la = x.size(); lb = y.size(); lc = la + lb;
    for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';
    for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0';

    // 2. 模拟乘法的过程
    mul(c, a, b); // c = a * b

    // 输出结果
    for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];

    return 0;
}

四、⾼精度除法

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1480 A/B Problem - 洛谷

难度系数：★

1. 题目描述 

2. 算法原理

模拟⼩学「列竖式」计算「两数相除」的过程（注意，我们这⾥是「⾼精度÷低精度」）。

定义⼀个指针 i 从「⾼位」遍历被除数，⼀个变量 t 标记当前「被除的数」，记除数是 b；

• 更新⼀个当前被除的数 t =t×10+a[i]  ；
• t/b表⽰这⼀位的商，t%b表⽰这⼀位的余数； 
• ⽤ t 记录这⼀次的余数，遍历到下⼀位的时候重复上⾯的过程 

被除数遍历完毕之后，t ⾥⾯存的就是余数，但是商可能存在前导 0 ，注意清空。

3. 参考代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

typedef long long LL;

int a[N], b, c[N];
int la, lc;

// 高精度除法的模板 - c = a / b （高精度 / 低精度）
void sub(int c[], int a[], int b)
{
    LL t = 0; // 标记每次除完之后的余数
    for(int i = la - 1; i >= 0; i--)
    {
        // 计算当前的被除数
        t = t * 10 + a[i];
        c[i] = t / b;
        t %= b;
    }

    // 处理前导 0
    while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}

int main()
{
    string x; cin >> x >> b;
    la = x.size();

    for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';

    // 模拟除法的过程
    lc = la;
    sub(c, a, b); // c = a / b

    for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];
 

    return 0;
}