Poj-2480 Longge's problem

本文介绍了一种利用欧拉φ函数计算从1到n的整数中,每个数与n的最大公约数gcd之和的方法。通过分析与n互素的数的数量及其倍数,得出计算gcd和的公式,并提供了具体的C++代码实现。

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[思路]: 题目给出整数n,对从111nnn的每个数iii,要求计算gcd(i,n)gcd(i,n)gcd(i,n)的和。
首先,在从111nnn的每个数中,所有与nnn互素的数xxx的个数nnn的欧拉φφφ函数φ(n)φ(n)φ(n)。如果gcd(i,n)=p(1&lt;p≤n)gcd(i,n)=p(1&lt;p≤n)gcd(i,n)=p(1<pn),则i/p和n/p互素,且满足gcd(i,n)=pgcd(i,n)=pgcd(i,n)=p的i的个数是φ(n/p)φ(n/p)φ(n/p),所以,相应的和为p∗φ(n/p)p*φ(n/p)pφ(n/p)。只需根据gcdgcdgcd的值不同,计算∑p∗φ(n/p)∑p*φ(n/p)pφ(n/p)即可。
中间结果为long long类型,否则爆int!

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;

int n;

ll phi(int n){
    ll ans=n;
    int f=sqrt(n+0.5);
    for(int i=2;i<=f;i++){
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)){
        ll ans=0;
        int f=sqrt(n+0.5);
        for(int i=1;i<=f;i++){
            if(n%i==0){
                if(i*i==n)ans+=i*phi(n/i);
                else ans+=i*phi(n/i)+n/i*phi(i);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
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