Kalman Filter

Kalman 滤波

摘自博客
知乎来源
卡尔曼原第一手论文
Understanding the Basis of the Kalman Filter
Via a Simple and Intuitive Derivation
Kalman滤波算法的本质就是利用两个正态分布的融合仍是正态分布这一特性进行迭代而已
在著名的阿波罗导航计算机中就试用了卡尔曼滤波，带着阿姆斯特朗在月球和地球之间穿梭。
简单的说 ，卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理算法。最优依赖于评价性能的判据，递归式是指卡尔曼不需要保存先前的数据。

卡尔曼滤波器的介绍：

生活实例：在海图作业中，船长通常以前一小时的船位为基准，根据航向、船速和海流等一些列因素推算下一个船位，但是他并不轻易认为船位就一定在推算船位上，还要选择适当的方法，通过仪器得到另一个推算船位。观测和推算这两个船位一般不重合，船长需要通过分析和判断选择一个可靠的船位，作为船的当前位置。
基本原理：以$k-1$时刻的最优估计$x_{k-1}$为准，预测K时刻的状态变量$\hat{x}_{k/k-1}$,同时又对改状态进行观测，得到观测变量$Z_k$,再在预测与观测之间进行分析，或者说是以观测量对预测量进行修正，从而得到K时刻的最优状态估计$x_k$。
下面以室内温度道来：
以小时为单位，假设要估算k时刻的室内温度，现在我们依据k-1时刻的温度（23℃）及其偏差（±3℃），我们猜测k时刻的温度也应为23℃（自己对自己预测的不确定度假定为±4℃）,则预测值（23℃）的高斯噪声为$5=\sqrt{3^2+4^2}$℃；然后，我们从温度计那里测得的K时刻温度值为25℃，其高斯噪声为±4℃；
下面，我们就可以根据以上预测值和观测值得到最优估计值$T^*$
Question： 我们究竟相信预测值（23℃）多一点还是观测值（25℃）多一点？
一、需用到均方误差公式

$$H=\frac{5^2}{5^2+4^2}=0.61$$
二、最优估计温度值 $T^*=23+0.61*(25-23)=24.22℃$
三、计算最优估计值的误差 $\delta$
$$\delta=\sqrt{(1-H)*5^2}=3.12$$
一般卡尔曼滤波公式