【斜率优化】BZOJ1597(Usaco2008 Mar)[土地购买]题解

最新推荐文章于 2018-05-20 17:24:57 发布

ZigZagK

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分类专栏： BZOJ题解斜率优化

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本文介绍了一种算法，用于解决在给定土地面积的情况下如何以最小代价购买所有土地的问题。通过去除冗余选项并利用线性动态规划及斜率优化技巧，实现高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目概述

有 $n$ 块土地，每块土地有长 $r$ 和宽 $c$ ，一次可以购买若干块土地，每次购买土地的代价是选择的土地的最大 $r$ $\times$ 最大 $c$ ，求买下所有土地的最小代价。

解题报告

由于要买下所有土地，所以如果对于 $i$ ，存在 $j(j\ne i)$ 使得 $r_j\ge r_i,c_j\ge c_i$ ，则 $i$ 就不需要考虑了。这样的话我们可以排序然后去掉不满足的土地，最终会剩下递减的 $r$ 和递增的 $c$ 。

然后就会发现这是线性DP， $f[i]=min\{f[j]+r[j+1]\times c[i]|j<i\}$ ，用斜率优化即可。

示例程序

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fr first
#define sc second
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=50000;

int n;pair<int,int> a[maxn+5];
int Head,Tail,que[maxn+5];LL f[maxn+5];

inline bool cmp(pair<int,int> a,pair<int,int> b) {return a>b;}
inline LL X(int i,int j) {return a[i+1].fr-a[j+1].fr;}
inline LL Y(int i,int j) {return f[j]-f[i];}
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].fr,&a[i].sc);sort(a+1,a+1+n,cmp);
    int Tot=n;n=0;for (int i=1,MAX=0;i<=Tot;i++) if (a[i].sc>MAX) a[++n]=a[i],MAX=a[i].sc;
    f[0]=0;Head=1;que[Tail=1]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        while (Head<Tail&&Y(que[Head],que[Head+1])<=X(que[Head],que[Head+1])*a[i].sc) Head++;
        f[i]=f[que[Head]]+(LL)a[que[Head]+1].fr*a[i].sc;
        while (Head<Tail&&Y(que[Tail-1],que[Tail])*X(que[Tail],i)>=Y(que[Tail],i)*X(que[Tail-1],que[Tail])) Tail--;
        que[++Tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}