SBT

ps：想学一下非常平衡的平衡树，然后感觉AVL、RBT都很难，于是学了SBT~
再ps：水平极其有限，很多地方都没有细究，如果有错误或者不严谨的地方欢迎指正！

作用

节点大小平衡树（Size Balanced Tree，简称SBT），是陈启峰（Orz%%%）发明的非常高效的一种平衡树，据他本人所说是“这是目前为止速度最快的高级二叉搜索树”。顾名思义，SBT是利用了节点大小来制约的平衡树。

方法

SBT没有像RBT、Treap那样加了附加域，而是利用了十分重要的size域（我们都知道这个域基本是平衡树不可或缺的）。一棵SBT要么是空树，要么是每个节点均满足如下条件的树（s[i]表示i节点子树的节点个数，l[i]表示i的左儿子，r[i]表示i的右儿子）：
$1.s[r[i]]>=s[l[l[i]]],s[r[l[i]]]$
$2.s[l[i]]>=s[l[r[i]]],s[r[r[i]]]$
图1
如图1，L,R是SBT，如果T是SBT，需要满足：
$s[L]>=s[C],s[D]$
$s[R]>=s[A],s[B]$

假设我们已经维护好了一棵SBT，这时候插入/删除导致不满足了，我们就需要用最核心的修正函数Maintain对不满足的树进行修正，使其重新成为SBT。
情况1：s[A]>s[R]
我们先将T右旋，如图2：
图2
然而这时候T依然不一定是SBT，所以我们Maintain(T)，将T变为SBT。这时候虽然A和T是SBT了，但L依然不一定是SBT，所以再Maintain(L)。
情况2：s[B]>s[R]
这将牵扯到B的儿子E和F，如图3：
图3
我们将L左旋，如图4：
图4
再将T右旋，如图5：
图5
这时候就乱七八糟了，但是A,C,D,E,F还是SBT，所以我们只需要Maintain(L)和Maintain(T)，最后再Maintain(B)就行了。
情况3：s[D]>s[L]
这个和情况1是对称的。
情况4：s[C]>s[L]
这个和情况2是对称的。

不过一次插入/删除只会影响一边，所以情况1,2和3,4不会同时不满足，我们可以分开来，减少判断次数，提高效率。在Maintain中再加一个参数flag，如果flag=0，表示只考虑1,2，如果flag=1，表示只考虑3,4。下面给出Maintain的代码：

void Maintain(P_node &p,bool fl)
{
    P_node L=p->son[0],R=p->son[1]; //0:左儿子，1:右儿子
    if (!fl)
        if (L->son[0]->si>R->si) Rotate(p,1); else
        if (L->son[1]->si>R->si) Rotate(p->son[0],0),Rotate(p,1); else
        return;
    else
        if (R->son[1]->si>L->si) Rotate(p,0); else
        if (R->son[0]->si>L->si) Rotate(p->son[1],1),Rotate(p,0); else
        return;
    Maintain(p->son[0],0);Maintain(p->son[0],1);
    Maintain(p->son[1],0);Maintain(p->son[1],1);
    Maintain(p,0);Maintain(p,1);
    //ps：陈启峰神犇说Maintain(p->son[0],1)和Maintain(p->son[1],0)是不需要的
    //再ps：但我不会证明，反正加上去不会错:P
}

然而为什么要这么旋转呢？而且Maintain显然是个递归函数，效率怎么样呢？会不会卡死呢？这些都放着，等下在讨论效率时一起讨论。

那么Insert是非常好写的，只需要在普通Insert后面加上Maintain即可：

void Insert(P_node &p,int k)
{
    if (p==null) {p=new node(k,null);return;}
    int d=p->cmp(k);Insert(p->son[d],k);
    p->Pushup();Maintain(p,d);
}

Delete实际上也是普通的删除，如果找不到需要删除的节点，就删除最后一个访问到的节点，把这个节点的key记录下来。最后Maintain一下：

int Delete(P_node &p,int k)
{
    int d=p->cmp(k),now;
    if (k==p->key||p->son[d]==null)
    {
        now=p->key;P_node tem;
        if (p->son[0]==null) tem=p->son[1],delete p,p=tem; else
        if (p->son[1]==null) tem=p->son[0],delete p,p=tem; else
        p->key=Delete(p->son[0],p->key),p->Pushup(),Maintain(p,1);
        return now;
    }
    now=Delete(p->son[d],k);
    p->Pushup();Maintain(p,d^1);
    return now;
}

其他操作和普通二叉排序树均相同。

效率

设f[h]表示高度为h的SBT的最少节点个数，首先我们容易得出f[0]=1,f[1]=2。
还是拿图1说事：

设T是高度为h的SBT，那么L或R中肯定有一个是高度为h-1的SBT，不妨设为L。那么根据f的定义，得s[L]>=f[h-1]。因为L是高度为h-1的SBT，所以A或B中肯定有一个是高度为h-1的SBT。根据SBT的限制，得s[R]>=f[h-2]。所以s[T]>=f[h-1]+f[h-2]+1。
等号能否取到？显然是能的，只需要让L是高度为h-1的SBT，R是高度为h-2的SBT即可！所以f[h]=f[h-1]+f[h-2]+1。
实际上 f[h]=∑hi=0Fibonacci[i]