ACWing 798. 差分矩阵（C++）

题目原文

ACWing 798. 差分矩阵（原题链接）

题目描述
输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个操作，每个操作包含五个整数 $x1,y1,x2,y2,c，$其中 $(x1,y1)$ 和 $(x2,y2)$ 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数 $n,m,q$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。

接下来 $q$ 行，每行包含 5 个整数 $x1,y1,x2,y2,c,$ 表示一个操作。

输出格式
共 $n$ 行，每行 $m$ 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
$1\le n,m\le 1000,$
$1\le q\le 100000,$
$1\le x1\le x2\le n,$
$1\le y1\le y2\le m,$
$-1000\le c\le 1000,$
$-1000\le 矩阵内元素的值\le 1000$

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

解题思路

思路类似于 ACWing 797. 差分，将其从一维扩展至二维。

对 $a[i]$ 求差分可得 $b[i]$ ，二者之间有关系：

$b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$

将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$ 后，原矩阵矩阵将变为：

$$\begin{array}{ccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & a_{x1y1}+c& \dots & a_{x1y2}+c& \dots \\ \dots & ⋮& \ddots & ⋮& \dots \\ \dots & a_{x2y1}+c& \dots & a_{x2y2}+c& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}$$

则此时差分矩阵变为（矩阵中省略号部分元素均未改变）：

$$\begin{array}{ccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & b_{x1y1}+c& \dots & a_{x1y2}-c& \dots \\ \dots & ⋮& \ddots & ⋮& \dots \\ \dots & b_{x2y1}-c& \dots & a_{x2y2}+c& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}$$

故每次操作只需对数组 $b[i]$ 作如下变换即可：

$b[x1][y1]+=c,b[x1][y2+1]-=c,b[x2+1][y1]-=c,b[x2+1][y2+1]+=c$

最后再逆运算即可求出变换后的 $a[i]$ ，输出结果即可。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

int main()
{
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            b[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1];
        }
    }
    
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        
        b[x1][y1] += c;
        b[x1][y2 + 1] -= c;
        b[x2 + 1][y1] -= c;
        b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
            printf("%d ", a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}