POJ1651-类似矩阵连乘问题

最新推荐文章于 2020-04-21 18:17:33 发布

原创最新推荐文章于 2020-04-21 18:17:33 发布 · 182 阅读

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本文深入探讨了动态规划解决复杂问题的策略，并以矩阵连乘为例，展示了如何通过递归方程求解最优解。通过实例分析，读者将掌握动态规划方法的核心思想和应用技巧。

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题意：给定n个数，每次取其中一个数（第一个数和最后一个数不能取），得分+=这个数乘以它左边的数和右边的数。要求最后的得分最小。

思路：因为开始知道这个题的DP方程和矩阵连乘的DP方程一样，所以一直根据方程想思路，结果想了很久都没想出来，最后看了评论区的大神提示，瞬间想通。看来自己实力还是很渣渣啊。。唉

我们假设只有a1,a2,a3三个数，那我们只能取a2，那最后的得分=a1*a2*a3; 假如有n个数，设k为最后一个取出来的数，那么，最后一次的得分只与a1,an,ak有关，那么我们把整个区间以k分成两段，左边一段的最后一次得分必然为a1*ak*ai(i>1 &&i<k)，也就是说左边的得分与右边怎么取无关，

那么我们总得分dp[1][n]=dp[1][k]+dp[k][n]+a[1]*a[k]*a[n];

于是我们可以得出递归方程dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][i]+a[i]*a[k]*a[j]. 这个方程和矩阵连乘问题的方程基本一样。那么我们可以写下如下代码

#include "iostream"
using namespace  std;
#define  len 110
int main()
{
	int  n;
	int a[len];
	int dp[len][len];//dp[1][n]是最后结果 ,dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+p*q
	int i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	//递归公式 dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+k*i*j,k>=i  k<j}
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(dp[i],0,sizeof(dp[i]));
		dp[i][i+2]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
	}
	for (int m=1;m<=n;m++)
	{
		for (i=1;i<=n;i++)
		{
			j=i+3+m;
			for (j=i+3;j<=n;j++)
			{
				int min=9999999;//注意这个数要取大点
				for (k=i+1;k<j;k++)
				{
					if(min>dp[i][k]+dp[k][j]+a[k]*a[i]*a[j])
					{
						min=dp[i][k]+dp[k][j]+a[k]*a[i]*a[j];
					}
				}
				dp[i][j]=min;
			}
		}
	}
	
	printf("%d\n",dp[1][n]);
	return 0;
}