codeforces 466B Wonder Room 数学?

最新推荐文章于 2022-01-21 12:27:31 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-21 12:27:31 发布 · 457 阅读

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CC 4.0 BY-SA版权

本文针对CF平台上的一道题目进行了详细解答，通过设定变量m=6*n，并采用暴力搜索的方法找到符合条件的最小乘积a1*b1。证明了当取i为1到sqrt(m)时，一定能找到满足条件的最优解。

闲的无聊刷cf上的比赛玩，这题很快就做出来了但是并不知道是为什么，结束后做了一下证明。

方法：

设m=6*n

a) 若a*b >= m 直接输出

b) 若a*b < m

　　　　假设最后答案的 a1固定，那么只要求得最小的b1，使其满足 a1*b1>=m，此时 a1*b1即为a1固定时的最小

b1很容易求，为 (m+a1-1)/a1

于是我们暴力 i= 1 -> sqrt(m)，求得j= (m+i-1)/i （由于i<=sqrt(m),所以j一定大于等于i）

取满足 i>=min(a,b)&&j>=max(a,b) 且使得i*j最小的解

此时 i 对应ab中较小的那个，j对应ab中较大的那个

为什么 i 只爆到 sqrt(m) 呢

下面证明最终取得的 a1,b1 min(a1,b1) 一定是小于等于sqrt(m)的数

证明：

设 x = min (a, b) 则 x <= sqrt(m) 否则 a * b >m

设 y = (m + x - 1) / x

则 m <= x * y <= m + x - 1 <= m + sqrt(m) - 1

设最优解为 a1 b1

则 a1 * b1 <= x * y <= m + sqrt(m) - 1 ( 1 )

若取得最优解时 a1 b1均大于 sqrt(m)

则 a1 * b1 >= (sqrt(m) + 1) ^ 2 = m + 2*sqrt( m ) + 1 ( 2 )

( 1 ) 与 ( 2 ) 矛盾，因而取得最优解时 min(a1, b1) <= sqrt(m)

证明完毕

我做的时候sqrt(m)是向下取整的，A过了，但是这样并不很严谨。

如果真的严格向下取整的话，sqrt(m) * sqrt(m) <= m 其实无法比较 (1) 式与 (2)式等号右边的大小。

所以最好还是向上取整这样 sqrt(m) * sqrt(m) >= m (1)式等号右边就一定小于(2)式等号右边了

#pragma warning(disable:4996)
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main() {
	LL n, a, b;
	cin >> n >> a >> b;
	n = 6 * n;
	if (a*b >= n) {
		cout << a*b << endl;
		cout << a << " " << b << endl;
		return 0;
	}
	LL retx=1e9, rety=1e9;
	for (LL i = 1;i*i <= n;i++) { //我这里是向下取整
		LL y = (n + i - 1) / i;
		if (i >= min(a,b)&&y >= max(b,a)&&retx*rety >= i*y) retx = i, rety = y;
	}
	if (a > b) swap(retx, rety);
	cout << retx*rety << endl << retx << " " << rety << endl;
	return 0;
}

可是向下取整真的不是正解吗。。。。