牛顿法 From Wikipedia

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本文详细介绍了牛顿法的基本原理及其在求解方程根的应用。牛顿法是一种高效求解非线性方程的方法，通过迭代逼近的方式找到方程的根。文章还提供了具体的实例，展示了如何使用牛顿法求解具体问题。

牛顿法 From Wikipedia

2010-09-09 08:46:41| 分类： Algorithm|举报|字号订阅

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http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%B3%95

牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中公开提出。而事实上方法此时已经由Joseph Raphson于1690年在Analysis Aequationum中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了。

方法说明

首先，选择一个接近函数f(x)零点的x₀，计算相应的f(x₀)和切线斜率f'(x₀)（这里f'表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点(x₀,f(x₀))并且斜率为f'(x₀)的直线和x轴的交点的x坐标，也就是求如下方程的解：

$x\cdot f'(x_0)+f(x_0)-x_0\cdot f'(x_0)=0$

我们将新求得的点的x坐标命名为x₁，通常x₁会比x₀更接近方程f(x) = 0的解。因此我们现在可以利用x₁开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

已经证明，如果f'是连续的，并且待求的零点x是孤立的，那么在零点x周围存在一个区域，只要初始值x₀位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果f'(x)不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。下图为一个牛顿法执行过程的例子。

第一个例子

求方程f(x) = cos(x) ? x³的根。两边求导，得f '(x) = ?sin(x) ? 3x²。由于cos(x) ≤ 1（对于所有x），以及x³ > 1（对于x>1），可知方程的根位于0和1之间。我们从x₀ = 0.5开始。

牛顿法 From Wikipedia - liuyunqian@yeah - 嵌入式学习

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。

求a的m次方根。

x^m - a= 0

设f(x) = x^m ? a，f'(x) = mx^{m ? 1}

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛顿法来迭代：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^m-a}{mx_n^{m-1}}$

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n}{m}(1-ax_n^{-m})$

(或 $x_{n+1} = x_n - \frac{1}{m}(x_n-a\frac{x_n}{x_n^m})$ )

square root by Newton method

牛顿法 From Wikipedia - liuyunqian@yeah - 嵌入式学习

以下转自 http://blog.youkuaiyun.com/dawnbreak/archive/2008/11/16/3308413.aspx

牛顿迭代法计算平方根

突然看到这个古老的算法，但是发现在图像渲染里用处可真是不小，所以拿出来研究一番

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

　　设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

　　解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

以上摘自百度百科

牛顿迭代法用来算平方根

设某数为p，则有方程

f（x） = x^2-p

方程的0根即为所求数的平方根

根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的迭代公式

X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的编程方法如下

double sqr(double n) {
    double k=1.0;
    while(abs(k*k-n)>1e-9) {
        k=(k+n/k)/2;
    }
    return k;
}

解决更加复杂的方程可以利用泰勒展开式，取其线性部分迭代

PS:Quake III公开源码后，有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍，有兴趣的可以研究一下

float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) );
#endif
#endif
return y;
}