poj1061

最新推荐文章于 2019-11-14 14:07:26 发布

zz_ylolita

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分类专栏：数论经典算法程序

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本文深入探讨了在模运算环境下解决线性同余方程的方法，通过扩展欧几里得算法找到方程的解。重点介绍了如何将原始方程转化为正整数形式，以及如何利用扩展欧几里得算法求解。此外，文章还详细解释了如何通过模运算调整解的范围，确保其成为正整数解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

program p1061;
var x,y,n,m,l,a,b,d,xx,yy:int64;
function exgcd(a,b:int64;var x,y:int64):int64;
var t:int64;
begin
 if b=0 then
  begin
   x:=1;y:=0;
   exgcd:=a;
  end
 else
  begin
   exgcd:=exgcd(b,a mod b,x,y);
   t:=x;x:=y;y:=t-a div b*y;
  end;
end;
begin
 read(x,y,m,n,l);
 a:=(m-n+l) mod l;
 b:=(y-x+l) mod l;
 d:=exgcd(a,l,xx,yy);
 if b mod d<>0 then
  writeln('Impossible')
 else
  begin
   xx:=(xx*b div d) mod l;l:=l div d;
   if xx<0 then xx:=(xx+l*((-xx) div l+1)) mod l;//！！
   if xx-l>0 then xx:=xx mod l;//！！
   write(xx);
  end;
end.

根据题目可得方程(m-n)xx=(y-x) mod l

令a=m-n,b=y-x要把a,b转换成正整数，在模l下加l即可

a*xx+l*yy=b

如果gcd(a,l)|b，那么方程有解（特别考虑，如果m-n=a=0，gcd(a,l)=l，可以直接判断出来不整除，或者同起点，可以整除）

扩展欧几里德求的是它：a*xx+l*yy=gcd(a,l)的解xx

原方程的解为xx:=xx*(b div gcd(a,l))

这里的转化只是一个可行解，并不一定是最小且是正整数

如果xx<0，不断+l div gcd(a,l)直到变成正的

如果xx>l div gcd(a,l)，xx:=xx mod (l div gcd(a,l));

为什么是l div gcd(a,l)：把xx=xx*(b div gcd(a,l)),yy=yy*(b div gcd(a,l))带入原方程，两边同时约去b，变成a div gcd(a,l)*xx+l div gcd(a,l)*yy=1，变成了模l div gcd(a,l)下的方程

注意要用if判断是否是上面两种情况，用公式算出结果，否则会超时

不要用while！