贝叶斯小数据分析—— 23 条数据决定宇航员生死（使用 PyMC3）

本文使用贝叶斯统计方法分析挑战者号航天飞机O型环故障与外部温度的关系。通过23次发射数据，利用logistic函数建立模型，计算出故障概率函数p(t)，揭示温度与故障率之间的联系。分析结果显示，温度低于65度时，故障概率增加，且在31度时，故障概率极高，但实际决策还需考虑多种因素。

（本文假设读者懂贝叶斯统计分析的基本框架，主要是为了记录自己的学习，因此可能很多地方比较简略，并不适合当作入门读物。代码部分可以跳过。）

1986年，美国挑战者号航天飞机升空失败，导致数名宇航员死亡。事后调查发现，事故原因是 O 型环的设计问题，导致其对一些外在条件非常敏感，其中一个影响条件是外部温度。在此前的 24 次类似发射中，有 23 次的发射数据保留了下来，其中 7 次发生了O型环出故障。在挑战者号发射前夜，虽然工作人员讨论了 O 型环问题，但是认为这过往的 7 次故障没有体现出明显的规律，因此没有留意。

下图是过往 23 次发射记录中的O型环故障情况图，横轴是外部温度（华氏度），纵轴表示是否发生故障。在这里插入图片描述
从图中来看，一个大致的趋势是温度越低，越可能发生故障（65度左右是一个可能的分水岭）。我们是否可以从中得到一个关于温度和故障几率的函数 p(t)，给定一个温度 t，返回在该温度下O型环会故障的概率（或概率分布）？

让我们试着用贝叶斯统计来算出这个函数。

确定模型

很多函数可以做到给定一个值，返回一个 [0, 1] 之间的值，其中最常见的就是 logistic 函数：
在这里插入图片描述
其中 β 和 α 是需要通过贝叶斯统计计算出的参数。如果没有 α，则 t=0 会是 p(t) 的转折点，为了让分水岭发生在 t=65 度左右，所以需要一个 α 参数来平移函数图像

计算模型参数

α 和 β 可以取任何值，但是肯定有一个相对比较合理的区间，只是我们不知道这个区间，因此可以使用正态分布来模拟这两个参数。

import pymc3 as pm
import theano as tt

with pm.Model() as model:
    beta = pm.Normal('beta', mu