统计概率的坑（一）：大规模随机抽样也不准！

假设一所只有 100 个学生的学校一共只开了 10 门课，每个学生只上一门课。请问平均每个班上有多少学生？

10 个学生？

THINK AGAIN ! 好好想想。

班级规模悖论（class size paradox）

你去问上面例题中的学校的校长，他一定会告诉你每个班平均只有 10 个学生。但是如果你去问学生，你将会得到完全不一样的答案。

假设这 10 门课中，有 1 门课有 30 名学生；有 2 门课每门有 20 名学生；2 门课每门 10 名学生；5 门课每门有 2 名学生。

学生数	课程数
30	1
20	2
10	2
2	5

你从 100 名学生中随机调查 50 名，根据简单的概率，预计会有 15 人来自 30名学生的那门课；20 人来自班级人数 20 人的那 2 门课；10 人来自班级人数 10 人的那 2 门课；5 人来自班级人数 2 人的那 5 门课

于是你让这 50 人报出自己班级人数，然后计算一下平均数：
$$\frac{15\ast 30+20\ast 20+10\ast 10+5\ast 2}{50}=19.2人$$

比实际的平均数 10 人高出了 92% ！！！

WHY？

师生比不是你想象中的师生比

很多国外大学非常强调师生比，比值越大，说明老师要照顾的学生数量少，每个学生也就能多分配一些精力。

但是 1:10 的师生比并不意味着每个老师大概只需要教 10 名学生。因为：

• 首先，一个老师一学期可能只教 1-2 门课，但是一个学生一学期可能要上 3-4 门课乃至更多
• 其次，上面的班级规模悖论在发挥着影响——客观准确的统计数字和你的个人经验可能相差万里

简单来说，你上了一个 30 名学生的课，别人上着 2 名学生的课，你被平均了呀！

更重要的是，在做班级人数抽样调查的时候，你和你的同学这种来自大班的人有更大概率被抽中，因为你们班人数多！

这就是为什么抽样调查 50 人得到的平均班级人数有 19.2 人，比实际数据高出了 92%——你们这些大班的人太容易被抽中去做调查了。

抽样计算真实

如果只有抽样得到的数据，要想算出实际情况，简单来说就是要坚持 $总人数/班级数$ 这个算法。

在抽样的 50 人中，总人数 = 50，班级数也很好算。50 人中有 15 人来自班级人数=30的班级，相当于这 15 人占了 $1/30\ast 15=0.5$ 个班。同理计算其他情况。

简单来说正确算法是：
$$\frac{50}{\frac{1}{30}\ast 15+\frac{1}{20}\ast 20+\frac{1}{10}\ast 10+\frac{1}{2}\ast 5}=10$$

这个算法实际上就是“调和平均数（harmonic mean）”。在本案例中，样本的调和平均数才是总体的（算术）平均数，即 10人/班。