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### 解法概述 洛谷 P1102 A-B 数对问题的核心是:给定一个整数数组和一个目标差值 `C`,我们需要找出所有满足 `A - B == C` 的不同数对 `(A, B)` 的数量。由于数据规模较大,暴力解法(双重循环)会超时,因此需要更高效的解决方案。 #### 二分查找优化 首先将数组排序,这样可以利用二分查找来加速查找过程。对于每个元素 `B`,寻找是否存在满足条件的 `A = B + C`。使用标准库中的 `lower_bound` 和 `upper_bound` 函数可以快速确定满足条件的 `A` 的范围,从而统计出符合条件的数对个数。这种方法的时间复杂度为 `O(n log n)`,其中 `n` 是数组长度 [^2]。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n; long long c; cin >> n >> c; vector<long long> arr(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> arr[i]; } sort(arr.begin(), arr.end()); long long count = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { long long target = arr[i] + c; auto left = lower_bound(arr.begin(), arr.end(), target); auto right = upper_bound(arr.begin(), arr.end(), target); count += (right - left); } cout << count << endl; return 0; } ``` #### 哈希表计数 另一种方法是使用哈希表(如 `unordered_map`),预先统计每个数字出现的次数。遍历数组时,对于每个元素 `B`,检查 `A = B + C` 是否存在于哈希表中,并累加对应的出现次数。这种方法的时间复杂度为 `O(n)`,因为每次操作都是常数时间 [^1]。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n; long long c; cin >> n >> c; unordered_map<long long, int> freq; vector<long long> arr(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> arr[i]; freq[arr[i]]++; } long long count = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { long long target = arr[i] + c; if (freq.count(target)) { count += freq[target]; } } cout << count << endl; return 0; } ``` #### 双指针技巧 双指针方法适用于已排序的数组。通过维护两个指针 `r1` 和 `r2`,分别指向当前可能满足条件的 `A` 值范围的上下界,可以在一次遍历中完成统计。这种方法的时间复杂度主要由排序决定,即 `O(n log n)` [^4]。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n; long long c; cin >> n >> c; vector<long long> a(n + 1); for (int i = 1; i <= n; ++i) { cin >> a[i]; } sort(a.begin() + 1, a.end()); long long cnt = 0; int r1 = 1, r2 = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) { while (r1 <= n && a[r1] - a[i] <= c) r1++; while (r2 <= n && a[r2] - a[i] < c) r2++; cnt += r1 - r2; } cout << cnt << endl; return 0; } ``` ### 总结 - **二分查找** 方法适合于有序数组,能够高效地找到满足条件的数对。 - **哈希表计数** 方法在空间换时间方面表现优异,适用于未排序数组。 - **双指针技巧** 在排序后可以高效地处理问题,但实现较为复杂。 每种方法都有其适用场景,选择合适的算法可以显著提升程序性能。
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