数学测试3(test20170311pm)

【INDEX1】（Indexone.pas/c/cpp Time：1s Memory：256M）

【问题描述】

INDEX 是谁？兄弟，这个问题你如果不知道我就只能怀疑你是从火星来的了。 但是，如果你真的不知道他是谁，那么，你可能和他拥有同一个故乡。 其实当年 INDEX 在火星上有 N 个基友和 M 个妹子，生活真是非常逍遥。他每天都把 基友和妹子排成一队，使得他能够站在最前面，领着他的基友后宫团游街（囧）。 但是，他的妹子们的嫉妒心是很强的，如果两个妹子站在一起，肯定会为 INDEX 吵得 不可开交。同时，INDEX 也是有老婆的人，他身后，也就是队伍的第一个人必须是他的基 友后宫团的团长——他老婆（也就是说，M 个妹子中有一个是他的老婆，为了使题目容易 理解，也就是第一个人已经确定是 M 个妹子中的一个了）。而且，他希望由一个基友来殿后。 现在 INDEX 想知道，他能够排成多少种不同的队伍，使得这个队伍满足他的要求？

【输入】

输入文件名为 Indexone.in。 输入一行包含两个整数 N 和 M。

【输出】

输出文件名为 Indexone.out。 输出一行，表示合法的队伍总数对 $1000000007$的模值，如果不存在何方方案则输出 $0$。

【输入输出样例】

Indexone.in

1 1

Indexone.out

1

【数据范围】

对于 30%的数据，保证有1≤N,M≤1000。

对于另外 30%的数据，保证有1≤M≤10。

对于 100%的数据，保证有1≤N,M≤1000000。

【题解】

这个题其实和那个什么01序列差不多，答案：

$ans=n!\times {p}_{n-1}^{m-1}(mod\quad p)$

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MOD = 1000000007;
const int size = 1000010;
LL a[size],b[size];
LL n,m,ans=1;

LL ksm(LL,LL,LL);

int main() {
    freopen("indexone.in","r",stdin);
    freopen("indexone.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(m>n)
        return puts("0"),0;
    a[0]=1;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        a[i]=a[i-1]*i%MOD;
    b[n]=ksm(a[n],MOD-2,MOD);
    b[0]=1;
    for(LL i=n-1;i>=1;i--)
        b[i]=b[i+1]*(i+1)%MOD;
    ans=a[n]*a[n-1]%MOD*b[n-m]%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

LL ksm(LL x,LL y,LL Mod) {
    x%=Mod;
    LL ret=1;
    while(y) {
        if(y&1)
            ret=ret*x%Mod;
        x=x*x%Mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

【INDEX2】（Indextwo.pas/c/cpp Time：1s Memory：256M）

【问题描述】

故事承接上文。 这事发生在博士还不那么内涵，现哥还不那么傻逼，姜嗲还没开始玩 dota，巨胖才 50Kg 的时候。有一天，INDEX 的老婆再也不能忍受 INDEX 那过分庞大超过一阿伏伽德罗常数的 后宫量，那天夜里，她将 INDEX 绑架到了飞船上，“私奔”到了月球，在《Fly me to the moon》 的歌声中。好美啊！ 这个时刻，INDEX 发现有一颗蓝色的星球一直在绕着一颗红色的星球转动。接着，他 又发现，他的故乡火星也一直在绕着这颗红色的星球转动！！！厉害爆了有木有！！！现在，他 的老婆将这颗蓝色星球命名为 A，他们的故乡火星命名为 B，并将他们的轨道平均分成 L 块，形成了 L 块扇形区域吗，并从 0 到 L-1 逆时针标号，A 星球和 B 星球都是沿逆时针绕 红色星球转动。一开始的时间计算为 0，在 0 时刻时，A 处在 Sa 块，B 处在 Sb 块。A 的移 动速度为 Va 块每 INDEX 小时，B 的移动速度为 Vb 块每 INDEX 小时。INDEX 向她老婆发 誓，他们会在月球上度过一段美好的二人时光，直到到某个 INDEX 小时整点的钟声敲响时， 若星球 A 和星球 B 所在块的编号相同，那么，他们启程返回火星。 思念自己庞大后宫团的 INDEX 想问你，他们启程返回火星的时刻。

【输入】

输入文件名为 Indextwo.in。 输入仅一行，包含五个正整数，分别为 L，Sa，Sb，Va，Vb。

【输出】

输出文件名为 Indextwo.out 输出仅一行，表示他们启程返回火星的时刻。若永远都不存在那个时刻，请输出 “Ohahahahahahaha”，不包含双引号。

【输入输出样例】

Indextwo.in

3 1 1 2 2

Indextwo.out

0

【数据范围】

对于 30%的数据，保证有 1≤L≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤L≤1000000，而且 0≤Sa,Sb≤L-1，1≤Va,Vb≤L。

【题解】

我们可以发现问题可以转化为求$S_{a}+V_{a}x\equiv S_{b}+V_{b}x(mod\quad l)$的最小整数解。
可以转化为$x(V_{a}-V_{b})-lk=S_{b}-S_{a}$
此时可以很明显发现用扩展gcd就可以求出一个解，那么求通解就很简单了。而我们只要当中的最小整数解。
【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL l,sa,sb,va,vb;
LL x,y;

void swap(int &a,int &b) {
    a^=b;b^=a;a^=b;
}

LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {
    if(b==0) {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    LL ret=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);
    return ret;
}

int main(){
    freopen("indextwo.in","r",stdin);
    freopen("indextwo.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&l,&sa,&sb,&va,&vb);
    if(va<vb) {
        swap(va,vb);
        swap(sa,sb);
    }
    if(sa==sb)
        return puts("0"),0;
    LL Gcd=ex_gcd(va-vb,l,x,y);
    if((sb-sa)%Gcd!=0)
        return puts("Ohahahahahahaha"),0;
    LL bd=l/Gcd; 
    x*=((sb-sa)/Gcd);
    x=(x%bd+bd)%bd;
    printf("%lld\n",x);
    return 0;
}

【INDEX3】(Indexthree.pas/c/cpp Time：1s Memory：256M)

【问题描述】

故事承接上文。 INDEX 回家之后，果断废弃了他的后宫基友团。开始和他老婆移居到农村，在一个 N 行 M 列的土地上，在平面直角坐标系中，就是横坐标从 1 到 N，纵坐标从 1 到 M 的地方上 种植树木。特别的，在原点那里，有一个 INDEX 造的太阳。然而，这次种植的树木名字叫 做超能树，为啥叫超能呢，因为它超需要能量，所以叫做超能树，如果这棵树无法从 INDEX 造的太阳中获得能量，也就是有其它树挡住了它的阳光，它就会死去。一棵树挡住了另一棵 树当且仅当这两棵树与原点三点共线，且一棵树距离原点更近。INDEX 已经种植了在他的 土地上的每个整点上都种植了一棵超能树。INDEX 想知道，有多少树可以活下来？

【输入】

输入文件名为 Indexthree.in。 输入仅一行，包含两个正整数 N 和 M。

【输出】

输出文件名为 Indexthree.out。 输出仅一行，表示最后活下来的树木个数。

【输入输出样例】

Indexthree.in

2 2

Indexthree.out

3

【样例解释】

(2,2)上的树被（1,1）上的树挡住了，所以只有两棵树成活。

【数据范围】

对于 60%的数据，保证有 1≤N,M≤1000。

另外 20%的数据，保证 N=M。

对于 100%的数据，保证有 1≤N,M≤1000000。

【题解】

易知，(x,y) 上的树不被其它树挡住的充要条件是gcd(x,y)=1。
因为若gcd(x,y)=d,d>1，那么 (x,y) 上的树必会被(x/d,y/d) (注：不知为何公式gg了）上的树挡住。
所以，问题转化为：对于给定的整数 a , b，有多少正整数对 (x,y)，满足x≤a，y≤b，并且gcd(x,y)=1。

前60分，直接gcd(i,j)==1判断即可（暴力分真多）

后20分，用欧拉函数搞一下就可以了。

最后20分，据说要莫比乌斯反演。（然而并不会）

【代码】

先给上蒟蒻的60分暴力代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b) {
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

LL n,m,ans=0;

int main() {
    freopen("indexthree.in","r",stdin);
    freopen("indexthree.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            if(gcd(i,j)==1)
                ans++;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

总结

这次考试竟然没有炸，真的神啦，会做的竟然没有炸，太神了！！！