【HackerRank-costly-graphs】【BZOJ5093】图的价值（第二类斯特林数）（NTT）

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题解：

首先我们的需要一个答案的表达式。

考虑 $1$ 号点的度数，该度数能够出现在多少种图中，以及 $n$ 个点等价。

以下用 $m$ 暂代原题意中的 $k$ 。

我们可以得到答案的表达式：

$Ans=n\cdot 2^{n-1\choose 2}\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}i^m$

考虑用第二类斯特林数化简后面：

$\begin{aligned} &\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}\sum_{j=0}^mS_{m,j}{i\choose j}j!\\ =&\sum_{j=0}^mS_{m,j}\sum_{i=j}^{n-1}{n-1\choose i}i^{\underline{j}}\\ \end{aligned}$

然后考虑这一坨：

$\begin{aligned} {n-1\choose i}i^{\underline{j}}=&\frac{(n-1)!i!}{i!(n-1-i)!(i-j)!}\\ =&\frac{(n-1)^{\underline{i}}}{(i-j)!}\\ =&\frac{(n-1-j)^{\underline{i-j}}}{(i-j)!}(n-1)^{\underline{j}}\\ =&{n-1-j\choose i-j}(n-1)^{\underline{j}} \end{aligned}$

于是上面的式子：

$\sum_{j=0}^mS_{m,j}(n-1)^{\underline j}\sum_{i=j}^{n-1}{n-j-1\choose i-j}=\sum_{j=0}^mS_{m,j}(n-1)^{\underline j}2^{n-j-1}$

直接卷积求一下第二类斯特林数即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=998244353,inv2=mod+1>>1;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+((a>>31)&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline int power(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));
	return res;
}
inline void Inc(int &a,int b){(a+=b)>=mod&&(a-=mod);}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=(a>>31)&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}

cs int bit=19,SIZE=1<<bit|1;

int r[SIZE],*w[bit+1];
int fac[SIZE],inv[SIZE],ifac[SIZE];
inline void init_NTT(){
	for(int re i=1;i<=bit;++i)w[i]=new int[1<<i-1];
	int wn=power(3,mod-1>>bit);w[bit][0]=1;
	for(int re i=1;i<(1<<bit-1);++i)w[bit][i]=mul(w[bit][i-1],wn);
	for(int re i=bit-1;i;--i)
	for(int re j=0;j<(1<<i-1);++j)w[i][j]=w[i+1][j<<1];
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<SIZE;++i){
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		inv[i]=mul(inv[mod%i],mod-mod/i);
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
	}
}
inline void NTT(int *A,int len,int typ){
	for(int re i=0;i<len;++i)if(i<r[i])std::swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int re i=1,d=1;i<len;i<<=1,++d)
	for(int re j=0;j<len;j+=i<<1)
	for(int re k=0;k<i;++k){
		int &t1=A[j+k],&t2=A[i+j+k],t=mul(t2,w[d][k]);
		t2=dec(t1,t),Inc(t1,t);
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+len);
		for(int re i=0,inv=::inv[len];i<len;++i)Mul(A[i],inv); 
	}
}
inline void init_rev(int l){
	for(int re i=0;i<l;++i)r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)?l>>1:0);
}

int S[SIZE],F[SIZE];

inline void get_second_stirling(int n){
	++n;int l=1;while(l<(n<<1))l<<=1;init_rev(l);
	for(int re i=0;i<n;++i)S[i]=mul(power(i,n-1),ifac[i]);
	for(int re i=0;i<n;++i)F[i]=(i&1)?mod-ifac[i]:ifac[i];
	memset(S+n,0,sizeof(int)*(l-n));NTT(S,l,1);
	memset(F+n,0,sizeof(int)*(l-n));NTT(F,l,1);
	for(int re i=0;i<l;++i)Mul(S[i],F[i]);NTT(S,l,-1);
}

signed main(){
#ifdef zxyoi
	freopen("costly_graph.in","r",stdin);
#endif
	init_NTT();
	int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);--n;
	get_second_stirling(k);
	int down=1,p=power(2,n),ans=0;
	for(int re i=0;i<=k;++i){
		Inc(ans,mul(S[i],mul(down,p)));
		Mul(p,inv2);Mul(down,n-i);
	}
	Mul(ans,mul(n+1,power(2,(ll)n*(n-1)/2%(mod-1))));
	cout<<ans<<"\n"; 
	return 0;
}