蒜头军的积木

蒜头君酷爱搭积木,他用积木搭了 nn 辆重量为 w_iwi 的小车和一艘最大载重量为 WW 的小船,他想用这艘小船将 nn辆小车运输过河。每次小船运载的小车重量不能超过 WW。另外,小船在运载小车时,每辆小车会对小船有一个损坏值 s_isi,当多辆小车一起运载时,该趟运载对小船的损坏值为船上所有小车的最大损坏值。

现在蒜头君想知道,如何用小船运载 nn 辆小车,可以使得对小船造成的总损坏值最小。

输入格式

第一行输入两个数 WW 和 nn100\leq w\leq 400100w4001\leq n\leq 161n16),分别表示小船的最大载重量和小车总数。

接下来输入 nn 行,每行输入两个整数 s_isi 和 w_iwi1 \leq s_i \leq 501si5010 \leq w_i \leq 10010wi100),分别表示每辆小车对小船的损坏值和每辆小车的重量。

输出格式

输出一行,输出一个整数,表示用小船运载 nn 辆小车,最小的总损坏值。

样例输入
90 4
32 50
15 20
40 50
13 40
样例输出
72

解题说明:

ac代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=70000;
const int mxx=2000000000;
int cost[maxn];
int w,si[20],weight[20];
void doit(int x){
	int s1=0,w2=0;
	int cot=1;
	int temp=x; 
	while(x){
		if(x&1){
			s1=max(si[cot],s1);
			w2+=weight[cot];
			if(w2>w){
				cost[temp]=mxx;
				return;
			}
		}
		cot++;
		x>>=1;
	}
	cost[temp]=s1;
	return;
}
int main(){
	int n;cin>>w>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>si[i]>>weight[i];
	}
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){
		  doit(i);
	}
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){
		for(int j=i;j;j=(j-1)&i){
			cost[i]=min(cost[i],cost[j]+cost[j^i]);
		}
	}
	int dd=pow(2,n)-1;
	cout<<cost[dd]<<endl;
	return 0;
}

<think>好的,我需要回答用户关于“蒜头回家”问题的动态规划实现方法。首先,我得先理解这个问题。根据引用[1],题目是说蒜头在左下角(1,1),家在右上角(n,n),每走一个格子会消耗体力a_ij,只能向右或向上走,要求找到回家花费的最少体力。 用户提到动态规划,所以我要回忆动态规划的基本概念。引用[3]指出动态规划用于最优解问题,这题显然是最小体力路径,符合条件。动态规划通常需要定义状态状态转移方程。 接下来,我需要确定状态。这里应该是到达每个点(i,j)所需的最小体力,用dp[i][j]表示。初始状态是起点(1,1),即dp[1][1]=a_11,因为站在起点就已经消耗这里的体力。 然后考虑状态转移。因为只能向右或向上走,所以到达(i,j)的前一步只能是左边(i-1,j)或下边(i,j-1)。因此,状态转移方程应该是dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a_ij。但要注意边界情况,比如第一行第一列,只能从一个方向来。 比如,第一行的每个点只能从左边来,所以dp[1][j] = dp[1][j-1] + a_1j。同样,第一列的每个点只能从下面来,dp[i][1] = dp[i-1][1] + a_i1。 然后,遍历顺序应该从起点开始,按行或列逐步填充dp表,直到终点(n,n)。 不过,我需要检查是否正确。比如,假设有一个2x2的网格,初始体力a11=1,a12=2,a21=3,a22=1。那么路径有两种:右→上或上→右。第一种的体力是1+2+1=4,第二种是1+3+1=5,所以最优是4。用动态规划的话,dp[2][2] = min(dp[2][1], dp[1][2}) + a22 = min(4,3) +1=4。对,结果正确。 另外,需要注意数组的索引是否正确,题目中的坐标是否从1开始,代码实现时要对应好数组下标,可能需要处理边界条件。 可能还需要初始化dp数组,除了起点外,其他位置初始化为一个很大的值,或者逐步计算。或者直接按顺序填充,因为每个点只依赖左边上边的点,所以按行或列的顺序填充即可。 总结步骤: 1. 定义dp数组,大小为n x n。 2. 初始化dp[0][0] = a[0][0](如果编程语言数组从0开始的话)。 3. 填充第一行第一列。 4. 按行或列填充其他位置,取左边上边的最小值加上当前格子的体力。 5. 最终dp[n-1][n-1]即为答案。 然后根据引用[1]中的问题描述,确保实现时符合题目要求,比如坐标从(1,1)到(n,n),可能需要调整数组索引。例如,如果编程中使用0-based索引,则需要转换。 另外,要考虑空间优化,如果不需要保存整个dp表,可以用滚动数组,但可能对于初学者来说,先展示标准的二维DP更清晰。 最后,生成相关问题,可能需要结合动态规划BFS方法的不同,或者优化技巧,比如空间优化或其他变种问题。</think>### 蒜头回家问题的动态规划实现方法 #### 问题分析 蒜头需要从网格左下角$(1,1)$移动到右上角$(n,n)$,每次只能向右或向上移动。每个格子$(i,j)$会消耗体力$a_{ij}$,目标是找到一条路径使得总体力消耗最小。 #### 动态规划设计 1. **状态定义** 定义$dp[i][j]$表示从起点$(1,1)$走到位置$(i,j)$所需的最小体力值。 2. **状态转移方程** - 对于第一行$(i=1)$:只能从左边移动而来,因此 $$dp[1][j] = dp[1][j-1] + a_{1j} \quad (j \geq 2)$$ - 对于第一列$(j=1)$:只能从下方移动而来,因此 $$dp[i][1] = dp[i-1][1] + a_{i1} \quad (i \geq 2)$$ - 其他位置$(i \geq 2, j \geq 2)$: $$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a_{ij}$$ 3. **初始化** - 起点:$dp[1][1] = a_{11}$(初始位置直接消耗体力)[^1] #### 代码实现(Python示例) ```python def min_energy_path(grid): n = len(grid) dp = [[0] * n for _ in range(n)] dp[0][0] = grid[0][0] # 起点初始化(假设输入是0-based索引) # 填充第一行第一列 for i in range(1, n): dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0] for j in range(1, n): dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j] # 填充其他位置 for i in range(1, n): for j in range(1, n): dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] return dp[n-1][n-1] # 返回终点值 # 示例输入(假设grid是n×n的二维数组,0-based索引) grid = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ] print(min_energy_path(grid)) # 输出最小体力值 ``` #### 关键点说明 - **时间复杂度**:$O(n^2)$,需遍历所有网格点[^3]。 - **空间优化**:若允许覆盖原数组,可将空间复杂度从$O(n^2)$优化至$O(n)$。 - **边界处理**:若题目坐标从$(1,1)$开始(如引用[1]的描述),需将输入转换为0-based索引。
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