19、Fibonacci数列探秘

题目：

定义Fibonacci数列如下：   

      /   0 ，n=0
f(n)=     1 ， n=1
      \   f(n-1)+f(n-2) ， n=2
输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。
因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，但....呵呵，你知道的。。

分析：

方法一：像教科书上那样用递归求解。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
      int result[2] = {0, 1};
      if(n < 2)
            return result[n];

      return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

                  f(10)
               /        \
            f(9)         f(8)
          /     \       /    \
       f(8)     f(7)  f(7)   f(6)
      /   \     /   \ 
   f(7)  f(6)  f(6) f(5)

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。

其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。

方法二、从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <assert.h>

void CalFibonacci(int n)
{
	int temp,i;
	int a=0,b=1;

	assert(n>0);
	if (n>1)
	{
		for (i=2;i<=n;i++)
		{
			temp=b;
			b+=a;
			a=temp;
		}
	}
	printf("The result is :  %d \n\n",b);
}

int main()
{
	int n;
	while (printf("Please input n:   "),scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		CalFibonacci(n);
	}

	return 0;
}

方法三：

这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：

{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}^n-1

(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)

有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。

现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：

        /  a^n/2*a^n/2                      n为偶数时
aⁿ=
        \  a^(n-1)/2 * a^(n-1)/2 * a        n为奇数时

要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。

实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <assert.h>

typedef struct 
{
	int m00,m01,m10,m11;
}Matrix;  //矩阵结构体

Matrix iniMatrix={1,1,1,0};初始矩阵

Matrix mulMatrix(Matrix matrix1,Matrix matrix2)//两个矩阵相乘
{
	Matrix result;
	result.m00=matrix1.m00*matrix2.m00+matrix1.m01*matrix2.m10;
	result.m01=matrix1.m00*matrix2.m01+matrix1.m01*matrix2.m11;
	result.m10=matrix1.m10*matrix2.m00+matrix1.m11*matrix2.m10;
	result.m11=matrix1.m10*matrix2.m01+matrix1.m01*matrix2.m11;

	return result;
}

Matrix CalPower(int n)  //矩阵的乘方
{
	Matrix result;

	if (n==1)
	{
		result=iniMatrix;
	}
	else
	{
		if (n%2==0)
		{
			result=CalPower(n/2);
			result=mulMatrix(result,result);
		}
		else
		{
			result=CalPower((n-1)/2);
			result=mulMatrix(result,result);
			result=mulMatrix(result,iniMatrix);
		}
	}
	return result;
}

int main()
{
	int n,result;
	while (printf("Please input n:  "),scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		assert(n>0);
		if (n==1)
		{
			result=1;
		}
		else
		{ 
			result=CalPower(n-1).m00;  //注意，这里是n-1！！
		}
		printf("The result is : %d \n\n",result);
	}

	return 0;
}