codeforces 888D Almost Identity Permutations （组合数+错排）

最新推荐文章于 2024-12-01 03:34:23 发布

棉花糖灬

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分类专栏： ACM算法/题目文章标签：组合数错排数

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本文解析了 Codeforces 888D 题目的解题思路，该题要求找出所有1到n的排列中，至少有n-k个元素的下标与元素值相同的方案数量。通过分析至多有k个元素下标与值不同的情况，利用组合数和特定的错排数来计算答案。

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传送门：codeforces 888D

题目大意：

对于 1~n 的所有排列中满足至少有 n-k 个元素的下标和元素值相同的有多少个。

思路：

至少有 n-k 个元素下标和元素值相同，也就是至多有 k 个元素下标和元素值不相同。注意，是不可能只存在 1 个元素的元素下标和元素值不相同的。

所以，我们可以从 n 个数中取出 i （0<= i <=k && i != 1）个数让它们互相交换顺序，使得它们的元素值和元素下标不相同。共有 C(n,i) 种取法，还要乘以它们交换顺序的方法，也就是错排数。

但是由于 k<=4 ，所以可以不用这么麻烦，从给定的样例可以得知 k=3 时错排数为 2，k=4 时错排数为 9，其他时候为 1. 怎么得出的呢？样例 5 3 为 31，5 4为 76，只多了个 C(5,4)=5，但是结果却增加了 45，所以 k=4 是错排数为 9. 当然错排数也可以利用公式直接得出。

所以只要求出 C(n,i) * 错排数的和就可以了。注意 i 不能为 1，因为不可能只存在一个元素的下标和值不同。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long LL;

LL c[1010][6];

void C()
{ //求组合数 
	int i,j;
	c[0][0]=1;
	for(i=0;i<1005;i++) c[i][0]=1;
	for(i=1;i<1005;i++)
		for(j=1;j<5&&j<=i;j++)
		{
			if(j==i) c[i][j]=1;
			else c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
		}			
}

int main()
{
	int i,n,k;
	LL ans;
	C();
	while(~scanf("%d%d",&n,&k))
	{
		ans=0;
		for(i=0;i<=k;i++)
		{
			if(i==3) ans+=c[n][i]*2; //组合数 * 错排数 
			else if(i==4) ans+=c[n][i]*9;
			else if(i!=1) ans+=c[n][i];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}