约瑟夫环问题

约瑟夫(josephus)环：假设有n个小孩坐成一个环，并且从第一个小孩开始数，如果数到m个小孩，则该小该离开，问最后留下的小孩是第几个小孩？
例如：总共有6个小孩，围成一圈，从第一个小孩开始，每次数2个小孩。
游戏情况如下：小孩序号：1，2，3，4，5，6 离开小孩序号：2，4，6，3，1 最后获胜小孩序号：5
1、简单办法：(如果只要求输出最后获胜的小孩编号，以下办法可以采用---具体数学第一章有一节专门讲这个的)
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无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个   
游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n   
，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间   
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，   
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，   
实施一点数学策略。   
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：   
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出   
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。   
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组   
成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:   
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2   
并且从k开始报0。   
现在我们把他们的编号做一下转换：   
k --> 0   
k+1 --> 1   
k+2 --> 2   
...   
...   
k-3 --> n-3   
k-2 --> n-2   
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这   
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x   
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相   
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n   
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就   
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是   
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：   
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然   
是f[n]   
递推公式   
f[1]=0;   
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)   
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结   
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1   
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：  
#include <stdio.h>   
int main(void)   
{   
int n, m, i, s=0;   
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);   
for (i=2; i <=n; i++) s=(s+m)%i;   
printf ("The winner is %d/n", s+1);   
}   
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高   
。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用   
数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执   
行效率。 
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个
游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n
，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，
实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i <=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d/n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高
。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用
数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执
行效率。
2、以下用链表处理约瑟夫环问题（代码仅为参考，没设置密码位，即至始至终m值是不变的）
如果题目要求每个人手里有一个密码，当这个人离开时，他应该将自己的密码赋值给m，然后输出自己，那么法一实现起来就并不那么容易了。这是使用单循环链表无疑是一个非常不错的选择。

单循环链表，模拟了人的组织结构----一圈，并且不需要因为哪个人被踢出去，改变已有的组织结构（只需要动态删除即可），也不需要设置标志位。

对于链表中的每个人，我们可以考虑给其一个结构，内含有这个人的编号，以及密码。当然，我们也可以设置一个全局的结构保存，共有多少个人，已经出去了多少人，为了后来新的需求：假设剩下k个人后，程序就停止。

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#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h>  
   
int main()   
{   
   
   int k=0,n=0,s=0,m=0;           //k为1,2,3报数时的计数变量,m为退出人数  
   int num [100];  
   int *p=num;  
   int i;  
   printf("Enter the number of person and the key:");  
   scanf("%d%d",&n,&s);  
   for (i=0; i<n; ++i)  
   {   
      *(p+i)=i+1;                //以1至n为序给每个人编号  
   }                            
   i = 0;  
   while (m<(n-1))              //当未退出人数大于1时执行循环体   (n-m) > 1  
   {  
      if (*(p+i)!=0)  
          k++;  
      if (k==s)                //对退出的人编号置为0  
      {  
          printf("%d/n",*(p+i));                       
          *(p+i)=0;  
          k = 0;  
          m++;  
      }  
       i++;  
      if (n==i)                 
           i = 0;               //报数到尾后,i恢复为0  
    }  
     while (*p==0)  
        p++;  
    printf("The last one is :%d/n",*p);  
    system("PAUSE");       
    return 0;  
}  
====================================================== 
#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <string.h> 
#include <malloc.h>  
   
/* 结构体和函数声明 */ 
typedef struct _node_t  
{  
    int             n_num;  
    struct _node_t *next;  
} node_t;  
   
node_t         *node_t_create(int n);  
node_t         *node_t_get(node_t **pn, int m);  
   
node_t * node_t_create(int n)  
{  
    node_t *p_ret   = NULL;  
   
    if (0 != n)  
    {  
        int     n_idx   = 1;  
        node_t *p_node  = NULL;  
   
        /* 构造 n 个 node_t */ 
        p_node = (node_t *) malloc(n * sizeof(node_t));  
        if (NULL == p_node)  
            return NULL;  
        else 
            memset(p_node, 0, n * sizeof(node_t));  
   
        /* 内存空间 申请 成功 */ 
        p_ret = p_node;  
   
   
        for (; n_idx < n; n_idx++)  
        {  
            p_node->n_num = n_idx;  
            p_node->next = p_node + 1;  
            p_node = p_node->next;  
        }  
        p_node->n_num = n;  
        p_node->next = p_ret;  
    }  
   
    return p_ret;  
}  
   
   
int main()  
{  
    int     n, m;  
    node_t *p_list, *p_iter;  
    printf("Please enter the total and the key :");  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    printf("The total num is : %d /nThe   key   is   : %d /n",n,m);  
   
    /* 构造环形单向链表 */ 
    p_list = node_t_create(n);  
   
    /* Josephus 循环取数 */ 
    p_iter = p_list;  
    m %= n;  
    while (p_iter != p_iter->next)  
    {  
        int i   = 1;  
   
        /* 取到第 m-1 个节点 */ 
        for (; i < m - 1; i++)  
        {  
            p_iter = p_iter->next;  
        }  
   
        /* 输出第 m 个节点的值 */ 
        printf("%d ", p_iter->next->n_num);  
   
        /* 从链表中删除第 m 个节点 */ 
        p_iter->next = p_iter->next->next;  
        p_iter = p_iter->next;  
    }  
    printf("%d ", p_iter->n_num);  
   
    /* 释放 申请 的空间 */ 
    free(p_list);  
   
    system("PAUSE");  
}