P2939 [USACO09FEB]改造路Revamping Trails

最新推荐文章于 2024-11-01 08:37:44 发布

zsyz_ZZY

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分类专栏： # 最短路 # 分层图

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zsyz_ZZY/article/details/80081507

最短路同时被 2 个专栏收录

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分层图

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本文介绍了一种解决特定图论问题的方法——利用分层图进行最短路径计算。针对给定n个节点、m条边的图，选择k条边将其权值设为0后，求解从节点1到n的最短路径。文中详细解释了如何构建多层图，并采用Dijkstra算法优化实现高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2939

题意：

有n个点，m条边，现在选k条边使得它们的权值变为0，求1到n的最短路。

思路：

分层图裸题。

搞一个k层的图，每两层间相同的点所连的边的权值为0。之后就可以在这个立体的图中跑最短路。

然后我们发现这样或许有些浪费空间，所以建0边的过程可以省略，然后在最短路（跑dijkstra）过程中可以让它到达下一层的当前这个点，即可。

注意：spfa+堆优化可以比较勉强卡过（约4s），而dijkstra+堆优化则才是正解（约2s）。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
struct node1
{
	int id,d,p;//id表示当前节点的编号,d表示路径的长度,p表示当前的层数 
	friend bool operator <(node1 x,node1 y)
	{
		return x.d>y.d;
	}
};
priority_queue<node1> f;
	struct node2{int x,y,z,next;} a[100010];
	int last[10010],dis[25][10010];
	bool bz[25][10010];
	int n,m,k,st=1,len=0;
void ins(int x,int y,int z)
{
	a[++len].x=x;a[len].y=y;a[len].z=z;a[len].next=last[x];last[x]=len;
}
int dijkstra()
{
	memset(bz,true,sizeof(bz));
	memset(dis,63,sizeof(dis));
	dis[0][st]=0;
	f.push((node1){st,0,0});
	while(!f.empty())
	{
		int x=f.top().id,p=f.top().p,d=f.top().d;
		f.pop();
		if(!bz[p][x]) continue;
		bz[p][x]=false;
		dis[p][x]=d;
		for(int i=last[x];i;i=a[i].next)
		{
			int y=a[i].y;
			if(dis[p][x]+a[i].z<dis[p][y])
			{
				dis[p][y]=dis[p][x]+a[i].z;
				f.push((node1){y,dis[p][y],p});
			}
			if(p+1<=k&&dis[p][x]<dis[p+1][y])
			{
				dis[p+1][y]=dis[p][x];
				f.push((node1){y,dis[p+1][y],p+1});
			}
		}
	}
	return dis[k][n];
}
int main()
{
	int x,y,z;
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
		ins(x,y,z),ins(y,x,z);
	}
	printf("%d",dijkstra());
}