【数论】基础数论概念

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基础数论概念

首先我们来回顾一下基础数论中关于整数集Z={…，-2，-1，0，1，2，…}和自然数集N={0，1，2，3，4，…}的一些概念。

整除性与约数

一个整数可以被另一个整数整除是数论中的一个关键概念。符号 $d|a$ （读作“d整除a”）的含义是，存在摸个数k，使得a=kd。任何整数均可整除0。如果a>0且d|a，那么|d|<=|a|。如果d|a，则称a是d的倍数。如果d不能整除a，则写作d 这里写图片描述 a。

任何正整数a均可被平凡约数 1和其自身a所整除。整数a的非平凡约数称为a的因子。例如，20的因子是2，4，5和10。

素数与合数

如果一个数a>1且只能被平凡约数1和它自身所除，则这个数是素数。素数游戏的特殊的性质。它在数论中也扮演着十分重要的角色。前20个素数按序排列如下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71

如果一个整数a>1且不是素数，则称之为合数。例如，39是一个合数，因为3|39。称整数1是基本单位，并且它既不是素数也不是合数。同样，整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。

除法定理、余数和等模

给定一个整数n，我们可以将整数集划分成n的倍数和非n倍数两部分。通过计算非n的倍数除以n的余数可以对非n倍数进行有效分类。而许多数论理论正是通过这种分类来改进对n的北方和非n倍数的划分。下面的定理给出该改进的理论基础。这里，我们忽略了其证明。

定理(1)（除法定理）：

对 于 任 何 整 数 a 和 任 何 正 整 数 n ， 存 在 唯 一 整 数 q 和 r ， 满 足 0 < = r < n 且 a = q n + r 。

$对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r<n且a=qn+r。$
称q=⌊a/n⌋为除法的商，值r=a mod n为除法的余数。n|a当且仅当a mod n=0。
根据整数模n的余数，我们可以将所有整数划分成n个等价类。包括整数a的 模n等价类为

[a] n = a + k n : k \in Z

$[a]_n={a+kn:k\in Z}$
例如，[3]7={…，-11，-4，3，10，17，…}，这个集合同时也可以表示为[-4]7和[10]7。

a∈[b]n a ∈ [ b ] n $a\in [b]n$ 和a≡b(mod n)是等价的。所有这类等价类的集合是

Z n = [a] n : 0 < = a < = n - 1 (1)

$Z_n={[a]n:0<=a<=n-1}(1)$
当读者看到

Z n = 0 ， 1 ， 2 ， . . . ， n - 1 (2)

$Z_n={0，1，2，...，n-1}(2)$ 这个定义时，按照式(1)理解即可：0代表

[0]n [ 0 ] n $[0]_n$ ，1代表

[1]n [ 1 ] n $[1]_n$ ，等等，即用每个等价类最小的非负元素来表示该等价类。然而，我们应该记着相应的等价类。例如，在我们说-1是

Zn Z n $Z_n$ 的一个元素时，实际上指的是

[n−1]n [ n − 1 ] n $[n-1]_n$ ，因为-1≡n-1(mod n)。

公约数与最大公约数

如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，30的约数包括1、2、3、5、6、10、15、30，24的约数包括1、2、3、4、6、8、12、24，因此24与30的公约数为1、2、3和6。需要注意的是，1是任意两个整数的公约数。

公约数的一条重要的性质是：

d | a 且 d | b 蕴 含 着 d | (a + b) 且 d | (a - b) (3)

$d|a且d|b蕴含着d|(a+b)且d|(a-b)(3)$
更一般的，对于任意整数x和y，有

d | a 且 d | b 蕴 含 着 d | (a x + b y) (4)

$d|a且d|b蕴含着d|(ax+by)(4)$
并且，如果a|b，那么|a|<=|b|，或者b=0，这更说明

a | b 且 b | a 蕴 含 着 a = \pm b (5)

$a|b且b|a蕴含着a=±b(5)$
两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的称其为 最大公约数，记作gcd(a，b)。例如，gcd(24，30)=6，gcd(5，7)=1，gcd(0，9)=0。如果a与b不同时为0，则gcd(a，b)是一个在1与min(|a|，|b|)之间的整数。定义gcd(0，0)=0，该定义是使gcd函数的基本性质（如下面的等式(9)）普遍诚意所必不可少的。
下列是gcd函数的基本性质：

g c d (a, b) = g c d (b, a) (6)

$gcd(a,b)=gcd(b,a)(6)$

g c d (a, b) = g c d (- a, b) (7)

$gcd(a,b)=gcd(-a,b)(7)$

g c d (a, b) = g c d (| a |, | b |) (8)

$gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)(8)$

g c d (a, 0) = | a | (9)

$gcd(a,0)=|a|(9)$

g c d (a, k a) = | a | 对 任 意 k \in Z (10)

$gcd(a,ka)=|a| 对任意k\in Z (10)$
下面的定理给出了gcd(a，b)的另外一个有用特征。

定理(2)：

如 果 任 意 整 数 a 和 b 都 不 为 0 ， 则 g c d (a ， b) 是 a 与 b 的 线 性 组 合 集 a x + b y : x, y \in Z 中 的 最 小 正 元 素

$如果任意整数a和b都不为0，则gcd(a，b)是a与b的线性组合集{ax+by:x,y\in Z} 中的最小正元素$
证明:

设s是a与b的线性组合集中的最小正元素，并且对于某个x，y $\in Z$ ，有s=ax+by。
设q=⌊a/s⌋，则式

a m o d n = a - n ⌊ a / n ⌋ (0 < = a m o d n < n)

$a mod n=a-n⌊a/n⌋(0<=a mod n<n)$
说明

a m o d s = a - q s = a - q (a x + b y) = a (1 - q x) + b (1 - q y)

$a mod s=a-qs=a-q(ax+by)=a(1-qx)+b(1-qy)$
因此，a mod s 也是a与b的一个线性组合。s是这个线性组合中的最小正数，由于

0<=amods<s 0 <= a m o d s < s $0<=a mod s<s$ ，故有a mod s=0。因此有s|a，类似地，可得到s|b。因此，s是a与b的公约数，所以gcd(a，b)>=s。因为gcd(a，b)能同时被a与b整除，并且s是a与b的一个线性组合，所以由式(4)可知gcd(a，b)|s。但由于gcd(a，b)|s和s>0，因此gcd(a，b)<=s。将上面已证明的gcd(a，b)>=s和gcd(a，b)<=s结合起来，得到gcd(a，b)=s,因此证明了s是a与b的最大公约数。

推论(3)：