按4的幂次方捡石子

题目描述

有n个石子，两个人A，B轮流按4的幂次方捡石子，如1，4，16，64，256，……，最后捡完石子的人获胜，给定n个石子，谁一定获胜？

1.考虑模5余0的情形:

• 当n =5时，A取1，B则取4，A取4，B则取1，B一定赢.
• 同理当n = 10或者n = 15时，B一定赢。
• 当n = 20时 A取1，B则取4，A取4，B则取1，回到了n = 15的情形，A取16，B则取4，所以B一定赢
• 当n以个位为5的情形时： 首先4的幂次方的个位只会出现1，4，6三者之一。A取个位为6时，B则取4，n的个位仍为5，而当A取1时，B则取4，A取个位为4时，B则取1，则变为n以个位为0的情形。
• 当n以个位为0的情形时，A取1，B则取4，A取个位为4，B则取1，n的个位变为5，A取个位为6，B则取4，n的个位变为0

也就是说当n mod 5 = 0 时，无论A怎么取，B都能够再次转化为 n mod 5 = 0的情形，由于n不断的减小，所以最终必然会出现 n = 5 或者n = 10的情形，可知B一定赢

2.考虑模5余1的情形:
显然A只要取1，则转化为模5余0的情形，所以此时A一定赢

3.考虑模5余4的情形:
显然只要A取4，则转化为模5余0的情形，所以此时A一定赢

4.考虑模5余2的情形:

• 当n=2时，A取1，B则取1，B一定赢
• 当n=7时，A取1，B则取4，A取4，B则取1，回到n = 2的情形，B一定赢；
• 当n=12时，A取1，B则取4，A取4，B则取1，回到n = 7的情形；B一定赢；
• 当n=17时，A取1或者4，B则取4或者1，回到n=12的情形，A取16时，B则取1，B一定赢。
• 当n的个位为2时，A取1，则回到模5余1的情形，B赢，当A取个位为6，回到模5余1的情形，B一定赢，当A取个位为4，变成模5余3的情形。