蓝桥云客 2022

02022 - 蓝桥云课

2022

问题描述
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将2022拆分成10个互不相同的正整数之和，总共有多少种拆分方法？
注意交换顺序视为同一种方法，例如2022 = 1000 + 1022 和 2022 = 1022 + 1000 就视为同一种方法。

答案提交
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这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

运行限制
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- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存：512M

总通过次数：4542 | 总提交次数：5214 | 通过率：87.1%

难度：中等 标签：2022，国赛，背包问题

版权声明
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思路：
背包问题

为什么需要三维？

问题的状态由三个关键因素决定：

1. 可选数的范围（i）：决定了当前能选哪些数。

2. 需要选多少个数（j）：目标是要选恰好 10 个数。

3. 这些数的和（k）：目标是要让和为 2022。

这三个因素共同唯一确定一个子问题。通过记录这三个维度的结果，可以避免重复计算相同的子问题。

2. 为什么需要这三个参数？

(1) i 的必要性

• 限制可选范围：例如，当 i=100 时，只能使用 1~100 的数，而不能使用更大的数（如101）。

• 避免重复计算：如果不包含 i，当处理到不同的 i 时，可能重复计算相同的 j 和 k，但实际上可选数的范围不同，导致方案数不同。

(2) j 和 k 的必要性

• 明确目标条件：题目要求选恰好 10 个数且和为 2022，因此需要跟踪还需选多少个数 (j) 和还需的和 (k)。

记忆化搜索：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 
// 记忆化数组：memo[i][j][k]表示前i个数中选j个数，和为k的方案數
ll memo[2022 + 1][10 + 1][2022 + 1];

ll dfs(ll i, ll j, ll k) 
{
    // 边界条件处理
    if (j < 0 || k < 0) 
	return 0;          // 非法状态
    if (j == 0 && k == 0) 
	return 1;  // 恰好选够且和为0（合法方案）
    if (i == 0) 
	return 0;  // 没有数可选但未满足条件
    if (memo[i][j][k] != -1) 
	return memo[i][j][k];
    
    ll res = 0;
    
    res = dfs(i - 1, j, k); // 不选第i个数的情况
    
    // 选第i个数的情况（需满足k >= i且j至少选1個）
    if (k >= i && j >= 1) 
	{
        res = dfs(i - 1, j, k) + dfs(i - 1, j - 1, k - i);
    }
    return memo[i][j][k] = res;
}

int main() 
{
    memset(memo, -1, sizeof(memo));
    cout << dfs(2022, 10, 2022);
    return 0;
}

dp：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[2023][11][2023]; 
int main()
{
    for (ll i = 0; i <= 2022; i++)  //因为体积为0，物品为0的所有情况都只有一种选择，即什么都不选
    f[i][0][0] = 1;
    
    for (ll i= 1; i <= 2022; i++)  //枚举所有物品
    {
        for (ll j = 1; j <= 10; j++)   //选了几个物品
        {
            for (ll k = 1; k <= 2022; k++)  //枚举体积
            {
             	   if (k >= i && j >= 1)  //选第i个物品
                   f[i][j][k] += f[i-1][j - 1][k - i] + f[i-1][j][k];
                   else
                   f[i][j][k] = f[i-1][j][k];  //不选第i个物品
            }
        }
    }
    cout << f[2022][10][2022];
    return 0;
}