sdut 2161 Simple Game 博弈

最新推荐文章于 2017-06-09 17:42:39 发布

原创最新推荐文章于 2017-06-09 17:42:39 发布 · 458 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

省赛真题同时被 2 个专栏收录

55 篇文章

订阅专栏

博弈论

11 篇文章

订阅专栏

本文探讨了尼姆游戏的一种变种玩法，即允许玩家每次从最多三堆石子中取石子的情况下的获胜策略。通过对必败状态的观察与分析，文章揭示了一个有趣的规律：只要二进制表示下某位的1的数量不是4的倍数，先手玩家就能通过特定策略确保胜利。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

N堆石子，每堆有ai个，轮流取，每次最多从3堆石子中取（可以取不同）。问先手是否能必胜

分析：

最普通的尼姆游戏是从1堆中取，本题是从3堆中取，推广成k堆呢？

对于尼姆博弈我们的做法是把所有的数异或最后判断最后值是否大于0

对于本题的必败态有：

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 3 3 3 1 3 4 4 4 1 5 6 6 6 2 4 6 6 6 2 5 7 7 7 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3

可以发现如果是4堆切数目一样的数那么一定是必败态，而且把一个必败态对应的石子进行移动就会获得新的必败态

如 3 3 3 3---》 1 2 3 3 3 ---》1 1 2 2 3 3---》1 1 1 2 2 2 3

把每个数转化成二进制来看发现一个规律：只要二进制某一位出现1的数目不是4=（1+3）的整数倍就先手赢

例如：

1 1 1 1	第三位	第二位	第一位
	0	0	1
	0	0	1
	0	0	1
	0	0	1
Sum	0	0	4
1 2 3 3 3	0	0	1
	0	1	0
	0	1	1
	0	1	1
	0	1	1
Sum	0	4	4
1 2 2 2 2	0	0	1
	0	1	0
	0	1	0
	0	1	0
	0	1	0
Sum	0	4	1

所以先手的策略就是把每一位上的数字和都搞成3+1的倍数。

怎么搞呢：找到最高的和不是3+1倍数的那一位，假设是有N个1，挑N%(3+1)个数字，把这一位的1变成0，那么这些数字的剩下几位就可以任自己决定了。

然后往低位一位位移过去，如果某一位上就算怎么改都到不了3+1的倍数，就挑几个当前位为1的数字进来，把1变成0，那可控数字就增加了，最多可以增加到3个，那3个可控数字就肯定可以把剩下的任意一位上的和搞成3+1倍数。

推广到每次取k堆也是一样的做法就是把3替换成k

ACcode:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 10005
int bin[15];
int main(){
    int loop,n;
    scanf("%d",&loop);
    while(loop--){
        scanf("%d",&n);
        memset(bin,0,sizeof(bin));
        for(int i=0;i<n;++i){
            int t;
            scanf("%d",&t);
            for(int i=0;t;++i){
                if(t%2)bin[i]++;
                t/=2;
            }
//            for(int j=0;j<4;++j)cout<<bin[j]<<' ';cout<<'\12';
        }
        int flag=true;
        for(int i=0;flag&&i<15;++i)if(bin[i]%4)flag=false;
        if(flag)puts("No");
        else puts("Yes");
    }
    return 0;
}