HDU 4549 M斐波那契数列矩阵快速幂加费马小定理

最新推荐文章于 2020-07-01 17:06:22 发布

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂方法求解斐波那契数列第n项的方法，并考虑到大数运算可能导致的溢出问题，采取了模1e9+7的操作来避免。代码中详细展示了如何通过递归思想实现矩阵的快速幂运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

F[0] = a
F[1] = b

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

求F[n]%1e9+7

因为每次相乘的矩阵为 0 1 1 1 为了防止求F(n)时溢出，要对矩阵元素取模，即 a[i][j] %= 1000000006。模数之所以为1000000006是因为根据费马小定理可得A^euler(M) = 1 （mod M）,其中M为素数。所以A^N = A^（N % euler(M)）（mod M），而1000000007为素数，euler（1000000007）= 1000000006，所以模数是1000000006。求出F(n-1)和F(n)以后，用二分快速幂求出pow（a，F(n-1)）* pow（b，F(n)）% 1000000007 就是最后的答案。

ACcode:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
struct Matrix{
    ll mat[2][2];
    void init (){
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix ret;
    ret.init();
    for(int i=0;i<2;++i)
        for(int j=0;j<2;++j)
            for(int k=0;k<2;++k)
                ret.mat[i][j]=(ret.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%(mod-1))%(mod-1);
    return ret;
}
Matrix pow(Matrix a,ll n){
    Matrix ret;
    ret.init();
    for(int i=0;i<2;++i)ret.mat[i][i]=1;
    while(n){
        if(n&1)ret=mul(ret,a);
        a=mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
ll poww(ll a, ll b){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1)ret=(ret*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main(){
     ll a,b,n;
    while(cin>>a>>b>>n){
        if(n==1){
            printf("%I64d\n",b%mod);
            continue;
        }
        Matrix tmp;
        tmp.init();
        tmp.mat[0][0]=0;
        tmp.mat[0][1]=1;
        tmp.mat[1][0]=1;
        tmp.mat[1][1]=1;
        tmp=pow(tmp,n);
        printf("%I64d\n",poww(a,tmp.mat[0][0])*poww(b,tmp.mat[1][0])%mod);
    }
    return 0;
}
/*
6 10 1
6 10 2
6 10 3
6 10 4
6 10 5
6 10 6
6 10 7
6 10 8
6 10 9
6 10 10
6 7 3
4 3 9
3 2 3
*/