图神经网络概述

1 简单的图的参数介绍

G=(V,E,A)\mathcal { G } = ( V , E , A )G=(V,E,A)

• V(N个)是节点集合, 只描述了存在的节点
• E是边集合, 只描述了存在的连接(边)
• A(NxN)是图的邻接矩阵, 描述了节点之间的连接关系, 当对应的边eij(连接vi,vj的边)存在的时候, 则对应的Aij = wij> 0, 若eij不存在, 则Aij = 0
• D(NxN)是图的度矩阵, 描述了节点自身连接的边的数目, 是对角矩阵,Dii=(∑Ai)D_{ii} = ( \sum A_i)Dii​=(∑Ai​)（度矩阵和邻接矩阵的关系可以参考这里）
• X(NxF)是节点属性矩阵, 每个节点对应拥有一个长为F的属性向量, L=D−A,Ln=In−D−1/2AD−1/2L=D-A, L_n=I_n-D^{-1/2}AD^{-1/2}L=D−A,Ln​=In​−D−1/2AD−1/2,图可以用节点属性来关联

L(NxN)是图的拉普拉斯矩阵, 归一化的拉普拉斯矩阵是图的一个鲁棒的数学表示.
归一化图拉普拉斯矩阵具有实对称半正定的性质,也就是可以进行特征分解得到特征值和特征向量.

2、拉普拉斯矩阵的分类

1）拉普拉斯矩阵是图论中用到的一种重要矩阵，给定一个有n个顶点的图 G=(V,E)，其拉普拉斯矩阵被定义为 L = D-A，D其中为图的度矩阵，A为图的邻接矩阵。例如，给定一个简单的图，如下（例子来自wiki百科）：

 

 

把此“图”转换为邻接矩阵的形式，记为A：

 

这里的不为零的地方都是邻接节点的值，比如节点1，与他相连接的是节点2和节点5，因此在（2,1）和（5,1）处的元素不为零，其他同理

把W的每一列元素加起来得到N个数，然后把它们放在对角线上（其它地方都是零），组成一个N×N的对角矩阵，记为度矩阵D，如下图所示。其实度矩阵（对角线元素）表示的就是原图中每个点的度数，即由该点发出的边之数量。

 

根据拉普拉斯矩阵的定义L = D-A，可得拉普拉斯矩阵L 为：

 

显然，拉普拉斯矩阵都是对称的。

2）另外一种更为常用的拉普拉斯矩阵形式是正则化的拉普拉斯矩阵（Symmetric normalized Laplacian），定义为：

该矩阵中的元素由下面的式子给出：