机器学习十大算法（四）逻辑回归 （本质，极大似然估计）

概念

假设有一个二分类问题，输出为y∈{0,1}，而线性回归模型产生的预测值为z=wTx+b是实数值，我们想有一个理想的阶跃函数来帮我们实现z值到0,1的转化。

然而该函数不连续，我们希望有一个单调可微的函数来供我们使用，于是遍找到了sigmoid来替代。

两者的图像如下图所示：

有了Sigmoid之后，由于其取值在[0,1]，我们就可以将其视为类1的后验概率p(y=1|x)。说白了，就是如果有了一个测试点x，那么就可以用Sigmoid算出来的结果来当做该点x属于类别1的概率大小。于是，非常自然地，我们把sigmoid计算得到的值大于等于0.5的归为类别1，小于0.5的归为类0.

逻辑回归与自适应线性网络

逻辑回归与自适应线性网络非常相似，两者的区别在于逻辑回归的激活函数为sigmoid，而自适应线性网络的激活函数为y=x，两者的网络结构如下：

1.逻辑回归：

2.自适应线性网路

逻辑回归的代价函数

1.首先模仿线性回归的做法，利用误差平方和来当代价函数。

其中i表示第i个样本点。

我们会发现这是一个非凸函数，这就意味着代价函数有着许多局部最小值，这不利于我们求解。（？？？）

（下图为凸函数与非凸函数）

2. 换一个思路，前面我们提到了ϕ(z)可以视为类1的后验估计，所以我们有

其中，p(y=1|x;w)表示给定w，那么x点y=1的概率大小。

上面两式可以写成一般式：

接下来我们就要用极大似然估计来根据给定的训练集估计出参数w：

为了简化运算，我们对上面这个等式的两边都取一个对数：

我们现在要求的是使得l(w)最大的w。在l(w)加个负号就变成最小的了。

为了理解这个代价函数，我们不妨拿一个例子的来看看：

也就是说：

如下图所示：

从图中不难看出，如果样本的值是1的话，估计值ϕ(z)越接近1付出的代价就越小，反之越大；

同理，如果样本的值是0的话，估计值ϕ(z)越接近0付出的代价就越小，反之越大。

利用梯度下降法求参数

在开始梯度下降之前，sigmoid有一个很好的性质，就是：

ϕ′(z)=ϕ(z)(1−ϕ(z))

还有我们需明确，梯度的负方向就是代价函数下降最快的方向。借助于泰勒展开，我们有：

f(x+δ)−f(x)≈f′(x)⋅δ

其中，f′(x)和δ为向量，那么这两者的内积就等于：

f′(x)⋅δ=||f′(x)||⋅||δ||⋅cosθ

当θ=π时，也就是δ在f′(x)的负方向上时，取得最小值，也就是下降的最快的方向。

下降过程：

其中，wj为第j个特征的权重；η为学习率，用来控制步长。

所以，在使用梯度下降法更新权重时，只要根据下式即可：

当然，在样本量极大的时候，每次更新权重会非常耗费时间，这是可以采用随机梯度下降法，这时每次迭代时需要将样本重新打乱，然后用下式不断更新权重。

也就是去掉了求和，而是针对每个样本点都进行更新。