康托展开 及其逆运算

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康托展开：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

 

应用实例：

{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

1. int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i]  
2. /*  康托展开. 
3.     {1...n}的全排列由小到大有序，s[]为第几个数  */  
4. int KT(int n, int s[])  
5. {  
6.     int i, j, t, sum;  
7.     sum = 0;  
8.     for (i=0; i<n; i++)  
9.     {  
10.         t = 0;  
11.         for (j=i+1; j<n; j++)  
12.             if (s[j] < s[i])  
13.                 t++;  
14.         sum += t*fac[n-i-1];  
15.     }  
16.     return sum+1;  
17. }  

 

 

康托展开的逆运算：

 

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

1. /*  康托展开的逆运算. 
2.     {1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  */  
3. void invKT(int n, int k, int s[])  
4. {  
5.     int i, j, t, vst[8]={0};  
6.     k--;  
7.     for (i=0; i<n; i++)  
8.     {  
9.         t = k/fac[n-i-1];  
10.         for (j=1; j<=n; j++)  
11.             if (!vst[j])  
12.             {  
13.                 if (t == 0) break;  
14.                 t--;  
15.             }  
16.         s[i] = j;  
17.         vst[j] = 1;  
18.         k %= fac[n-i-1];  
19.     }  
20. }