【个人笔记】牛客题目：NC91 最长上升子序列(三)

描述
给定数组arr，设长度为n，输出arr的最长上升子序列。（如果有多个答案，请输出其中按数值(注：区别于按单个字符的ASCII码值)进行比较的字典序最小的那个）
数据范围：0≤n≤200000 , 0≤arr_i≤1000000000
要求：空间复杂度 O(n)，时间复杂度 O(nlogn)

eg:输入：[2,1,5,3,6,4,8,9,7]
返回：[1,3,4,8,9]

输入：[1,2,8,6,4]
返回值：[1,2,4]
说明：其最长递增子序列有3个，（1，2，8）、（1，2，6）、（1，2，4），其中第三个按数值进行比较的字典序最小，故答案为（1，2，4）

解题思路（参考了牛客中的解答和其他人的解答）：
使用贪心+二分法
贪心地希望tails能够更长且已经构成tails的元素更小，所以二分地从tails中找第一个大于等于的元素替换，如果没有就说明需要更新长度；
eg:有以下序列A[ ] = 1 4 7 2 5 9 10 3，求LIS长度。
A[1] = 1，把1放进B[1]，此时B[1] = 1，B[ ] = {1}，len = 1
A[2] = 4，把4放进B[2]，此时B[2] = 4，B[ ] = {1,4}，len = 2
A[3] = 7，把7放进B[3]，此时B[3] = 7，B[ ] = {1,4,7}，len = 3
A[4] = 2，因为2比4小，所以把B[2]中的4替换为2，此时B[ ] = {1,2,7}，len = 3
A[5] = 5，因为5比7小，所以把B[3]中的7替换为5，此时B[ ] = {1,2,5}，len = 3
A[6] = 9，把9放进B[4]，此时B[4] = 9，B[ ] = {1,2,5,9}，len = 4
A[7] = 10，把10放进B[5]，此时B[5] = 10，B[ ] = {1,2,5,9,10}，len = 5
A[8] = 3，因为3比5小，所以把B[3]中的5替换为3，此时B[ ] = {1,2,3,9,10}，len = 5
　　最终得出LIS长度为5。但是！！这里的1 2 3 9 10并不是正确的最长上升子序列。B序列并不一定表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列。
（以上来自https://blog.youkuaiyun.com/lxt_Lucia/article/details/81206439）
本题需要得到最小字典序的子序列，所以在以上基础上进行修改；
记录curLen[i]表示以当前元素arr[i]为结尾的最长递增子序列的长度
根据curLen[i]逆序地从最大长度开始遍历，即满足curLen[i] == ans条件的元素，就是长度为ans的字典序最小的方案

class Solution {
public:
    /**
     * retrun the longest increasing subsequence
     * @param arr int整型vector the array
     * @return int整型vector
     */
    vector<int> LIS(vector<int>& arr) {
        // write code here
        vector<int> tail(arr.size());  // 贪心+二分得到的子序列
        vector<int> curlen(arr.size()); // curlen[i]表示以arr[i]为结尾的元素对应的最长上升子序列长度
        // 遍历arr
        int tail_size = 0; // 因为tail初始化了一个固定的大小，所以得有一个表示tail当前大小的数
        int left, right, mid;
        for(int i=0; i<arr.size(); i++){
            // 二分法从tail中找第一个比arr[i]大的数
            left=0;
            right = tail_size;
            while(left<right){
                mid = left + (right-left)/2;
                if(tail[mid] >= arr[i])
                    right = mid;
                else
                    left = mid + 1;
            }
            // 若找到，找到后用arr[i]将那个较大的数替换掉；
            // 若找不到，说明tail所有数都比arr[i]小，则把arr[i]加入末尾
            tail[left] = arr[i]; 
            curlen[i] = left + 1;
            if(tail_size==left) // 找不到的情况，tail大小+1
                tail_size++;
        }
        /*
		eg:[2,1,5,3,6,4,8,9,7]
		arr[0]:2, tail:[2], curLen[0]:1
		arr[1]:1, tail:[1], curLen[1]:1
		arr[2]:5, tail:[1,5], curLen[2]:2
		arr[3]:3, tail:[1,3], curLen[3]:2
		arr[4]:6, tail:[1,3,6], curLen[4]:3
		arr[5]:4, tail:[1,3,4], curLen[5]:3
		arr[6]:8, tail:[1,3,4,8], curLen[6]:4
		arr[7]:9, tail:[1,3,4,8,9], curLen[7]:5
		arr[8]:7, tail:[1,3,4,7,9], curLen[8]:4  (8被替换成7，是以7为结尾的长度)
		ans = 5
		*/
        vector<int> res(tail_size); // 存放结果，虽然tail数组不是最终结果，但tail的大小为结果长度（最长上升子序列长度）
        // 逆序地从最大长度开始遍历
        int i,j;
        for(i=arr.size()-1, j=tail_size; i>=0; i--){
            if(curlen[i]==j)  // 以arr[i]为结尾的最长子序列长度为j说明arr[i]即为res的第j-1位
                // 因为相同长度（curlen相同）的情况下，越往后（i越大）的末尾元素越小（大的被小的替换了），所以从后往前取值可得到题目要求的结果
                res[--j] = arr[i];
            //j=5, curLen[i=7]:5, res[4]=arr[7], res: 0 0 0 0 9
			//j=4, curLen[i=6]:4, res[3]=arr[6], res: 0 0 0 8 9
			//j=3, curLen[i=5]:3, res[2]=arr[5], res: 0 0 4 8 9
			//j=2, curLen[i=3]:2, res[1]=arr[3], res: 0 3 4 8 9
			//j=1, curLen[i=1]:1, res[0]=arr[1], res: 1 3 4 8 9
        }
        return res;
    }
};