素数测试算法

昨天刷LeetCode 时候遇到判断素数的问题 204.Count Primes ，想起hihocoder上之前也出现过，但是当时没看。

于是今天整理了一些关于判断一个数是否是素数的知识。因为大部分的内容都是别人的，所以下文主要是提供一些参考链接

以下假设要判断的数为n

1、传统判断方式

判断n是否能被2-n^(1/2)中的数整除，即 204. Count Primes 的解法1

2、 埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes),即 204. Count Primes 的解法2

3、Miller Rabin 素数测试算法

Miller Rabin 素数测试算法属于数论中的知识，需要耐心的阅读。以下提供几个参考链接

a.维基百科 Miller–Rabin primality test 

b.中文的解释和算法的由来 Matrix67: The Aha Moments

c.Miller Rabin 算法的具体实现（包含多种语言）Miller–Rabin primality test

d.hihocoder的题，（但是当时没报名似乎没权限提交）数论一·Miller-Rabin质数测试

根据参考链接给的伪代码，我用C#实现了一下，但是没有测试（可能有误）。不过该算法在LeetCode上测试似乎会超时？

伪代码：

Input: n > 2, an odd integer to be tested for primality;
       k, a parameter that determines the accuracy of the test
Output: composite if n is composite, otherwise probably prime
write n − 1 as 2s·d with d odd by factoring powers of 2 from n − 1
LOOP: repeat k times:
   pick a randomly in the range [2, n − 1]
   x ← ad mod n
   if x = 1 or x = n − 1 then do next LOOP
   for r = 1 .. s − 1
      x ← x2 mod n
      if x = 1 then return composite
      if x = n − 1 then do next LOOP
   return composite
return probably prime

C#：

private bool isPrime(int n, int k)
        {
            if (n < 2)
                return false;
            if (n == 2)
                return true;
            if (n % 2 == 0)
                return false;

            int num = n - 1, s = 0, tmp, mod;
            while (num % 2 == 0)
            {
                s++;
                num >>= 1;
            }
            Random rand = new Random();
            for (int i = 0; i < k; i++)
            {
                int a = rand.Next(n - 2) + 2;
                a = 2;
                int d = num;

                //mod = (int)Math.Pow(a,d) % n;
                tmp = 0;
                mod = 1;
                while (tmp < d)
                {
                    mod = (int)(mod * a) % n;
                    tmp++;
                }

                if (mod == 1 || mod == n - 1)
                    continue;
                int j;
                bool flag = false;
                for (j = 1; j < s; j++)
                {
                    mod = (mod * mod) % n;
                    if (mod == 1)
                        return false;
                    if (mod == n - 1)
                    {
                        flag = true;
                        break;
                    }
                }
                if (!flag)
                    return false;
            }
            return true;
        }