物质方程或本构方程的简介

一、核心概念：它是什么？

物质方程是描述物质宏观性质的物理关系的方程。它建立了描述普通物理过程的通用场变量与描述物质内在特性的特定物质参数之间的联系。

可以把它理解为一个“物质身份证”，它定义了不同材料对外部作用的独特响应方式。

一个核心的比喻：

想象一下经典的牛顿第二定律：

F=maF=ma

• FF（力）和 aa（加速度）是通用变量，它们描述了运动的因果关系，与物体本身无关。

• mm（质量）是物质参数，它描述了特定物体抵抗加速度的内在属性。F=maF=ma 就是一个最简单的本构方程，它定义了“质点”这种理想物质的力学行为。

在连续介质力学中，情况更复杂，我们处理的是场（如应力场、应变场），因此本构方程也更为复杂。

---

二、为什么需要本构方程？—— 它们在理论体系中的位置

在物理学中，尤其是在连续介质力学和电磁学中，我们有两类方程：

1. 通用方程（或守恒方程）：这些方程对所有物质都普遍适用，基于基本物理定律（如守恒定律）。

   • 力学中：质量守恒（连续性方程）、动量守恒（纳维-斯托克斯方程）、动量矩守恒、能量守恒。

   • 电磁学中：麦克斯韦方程组。

   • 问题：这些通用方程通常包含的变量数目 多于 方程数目，导致方程组不封闭，无法求解。

2. 本构方程（物质方程）：这些方程是特定于物质的，它们提供了缺失的关系，使整个方程组封闭和可解。

简单来说：

• 通用方程 描述了物理世界的“游戏规则”，所有人都必须遵守。

• 本构方程 描述了不同“玩家”（材料）的“个性”和“技能”，决定了它们会如何具体地执行这些规则。

没有本构方程，我们只知道力、能量等要守恒，但无法知道一个具体的物体（如一块橡胶或一滩水）在受力时会如何变形和运动。

---

三、经典例子

以下是几个关键领域的经典本构方程：

1. 固体力学：胡克定律（线性弹性）

这是最著名和最简单的本构方程。

• 通用变量：应力 σσ（内部内力）和 应变 ϵϵ（变形程度）。

• 物质参数：杨氏模量 EE（描述材料的刚度）。

• 本构方程：

  σ=Eϵσ=Eϵ

• 物理意义：对于大多数金属在小变形下，其应力与应变成正比。杨氏模量 EE 是材料的固有属性，钢的 EE 远大于橡胶的 EE。

在更复杂的三维情况下，这需要用一个四阶张量（刚度张量）来描述，即广义胡克定律。

2. 流体力学：牛顿粘性定律（牛顿流体）

• 通用变量：剪切应力 ττ 和 剪切率 γ˙γ˙​（速度梯度的度量）。

• 物质参数：动力粘度 μμ。

• 本构方程：

  τ=μγ˙τ=μγ˙​

• 物理意义：对于水、空气等牛顿流体，其内部摩擦阻力（剪切应力）与流体层之间的相对速度梯度成正比。粘度 μμ 是流体的固有属性，蜂蜜的 μμ 远大于水的 μμ。

3. 电磁学：物质中的麦克斯韦关系

麦克斯韦方程组在真空中是封闭的（只涉及电场 EE 和磁场 BB）。但在物质内部，需要本构方程来描述材料如何被极化和磁化。

• 通用变量：电场 EE 和 电位移 DD；磁场 HH 和 磁感应强度 BB。

• 物质参数：介电常数 ϵϵ、磁导率 μμ、电导率 σσ。

• 本构方程：

  • 对于线性、各向同性电介质： D=ϵED=ϵE

  • 对于线性、各向同性磁介质： B=μHB=μH

  • 对于欧姆导体： J=σEJ=σE（其中 JJ 是电流密度）

• 物理意义：这些方程描述了材料如何响应外部电磁场。例如，高介电常数的材料能更好地被电极化。

---

四、本构方程的分类与复杂情况

材料的行为千差万别，因此本构方程也多种多样。

分类依据	类型	描述与例子
按物质类型	固体	胡克定律（弹性）、塑性本构方程（考虑永久变形）
	流体	牛顿粘性定律（牛顿流体）、非牛顿流体模型（如幂律流体）
	其他	粘弹性材料（兼具弹性和粘性）、多孔介质、复合材料等
按线性与否	线性	响应与激励成正比，如胡克定律 σ=Eϵσ=Eϵ。简单，易于求解。
	非线性	响应与激励不成正比，如橡胶的大变形（超弹性）、塑性变形。更真实，但求解困难。
按与时间关系	率无关	响应只与当前状态有关，与加载速度无关，如弹性、理想塑性。
	率相关	响应与加载速度或时间有关，如粘性、粘塑性、蠕变、应力松弛。
按方向特性	各向同性	材料在所有方向上性质相同，本构方程形式简单。
	各向异性	材料在不同方向上性质不同，如木材、复合材料，本构方程复杂（需张量描述）。

复杂本构方程的例子：

• 宾汉流体（Bingham Fluid）：这种材料（如牙膏、油漆）在应力低于某个临界值（屈服应力 τ0τ0​）时像固体一样不流动，超过后才像牛顿流体一样流动。

  {γ˙=0若 τ≤τ0τ=τ0+μγ˙若 τ>τ0{γ˙​=0τ=τ0​+μγ˙​​若 τ≤τ0​若 τ>τ0​​

• 粘弹性材料（Viscoelastic Material）：像聚合物、生物组织这样的材料，其应力既依赖于当前的应变，又依赖于应变的历史。其本构方程通常包含时间导数或积分，例如开尔文-沃伊特模型：

  σ=Eϵ+ηϵ˙σ=Eϵ+ηϵ˙

  其中 ηη 是粘度系数。这个方程描述了材料的“弹性”和“粘性”耦合效应。

---

五、建立本构方程的原则

为了确保本构方程在物理上是合理的，它们通常需要遵循一些基本原则：

1. 确定性原则：物体当前的应力状态由其过去（直至当前）的运动历史唯一确定。

2. 局部作用原则：一点处的应力只取决于该点无限小邻域内的运动历史，而不取决于远处质点的运动。

3. 客观性原则（物质框架无差异性）：本构方程的形式必须与观察者（参考系）无关。材料的响应不应依赖于观察它的坐标系。这是最重要的原则之一，它确保了物理定律的普适性。

4. 物质对称性：本构方程应反映材料内部结构的对称性（如各向同性、正交各向异性等）。

总结

物质方程（本构方程）是连接物理世界通用定律与具体材料特性的桥梁。它们将应力与应变、电位移与电场等成对出现的物理量联系起来，并通过材料参数（如模量、粘度、介电常数）来量化不同物质的独特行为。从简单的胡克定律到描述生物组织的复杂粘弹性模型，本构方程是理解和预测材料在真实世界中行为不可或缺的工具。